几类广义Sylvester矩阵方程迭代算法的若干研究

发布时间：2020-07-14 08:09

【摘要】：矩阵方程快速有效的求解方法长期以来都是数值代数领域的重要研究课题.本文主要针对几类广义Sylvester矩阵方程在理论与算法方面进行详细研究,得到一些较为满意的结果.在数值模拟效果方面,本文所给出的部分算法优于当前一些有效的算法,是对这些研究工作的有效改进.本文结构如下：绪论部分介绍了Lyapunov方程Riccati方程、Stein方程、Kalman-Yakubovich方程等几类矩阵方程的来源及应用.尤其对Sy1vester矩阵方程的实际应用及最新研究进展进行详细论述.鉴于矩阵方程与线性方程组的密切联系,我们也简要介绍了求解线性方程组的一些有效迭代算法和加速技巧.第一章,构造了求解矩阵方程的自反与反自反解的修正共轭梯度法(MCG),并给出了算法收敛性证明.进一步,在矩阵方程相容性条件下.给出一种初始迭代矩阵的表达式.从而得到唯一最小范数解.数值模拟效果验证了我们所提出的算法是有效的.第二章.将当前研究讨论的矩阵方程推广到更一般的情形.设计了一个求这一新的矩阵方程的中心对称与中心反对称解的迭代算法.在复数域上研究了算法的收敛性,即假设在没有舍入误差的前提下,算法最多经过有限步迭代即可得到方程组的精确解.同时提供了一种初始矩阵的一般形式.进而得到方程组的唯一最小范数解.一些数值例子验证了算法的有效性.第三章,提出一个求解广义Sylvester转置矩阵方程AXB+CXTD= F的基于梯度的加速迭代算法(AGBI).该方法不仅充分利用了前半步迭代的最新信息：而且引入了一个松弛参数,从而在下一步迭代能得到更好逼近准确解的信息.在适当的假设下.证明了算法收敛到矩阵方程的精确解.最后通过一些数值算例来验证该算法的有效性,并且与现有的三种算法做了详细比较,数值结果说明了AGBI算法的收敛效果是相当理想的.第四章,利用Kronecker积与vec算子的性质以及复矩阵的实表示方法,推广了求解线性方程组的CGS、Bi-CGSTAB及GPBiCG三种有效的算法,用之求解广义耦合共轭Svlvester矩阵方程A1×XB1+C1YD1=E,A2XB2+C2YD2=F.在数值实验部分,将推广的算法进行详细比较,表明了这些算法是有效的.第五章,基于CG方法思想,研究了AXB+CXD=E与/AiXBi=Fi(i=1.2,....N-)两类Svlvester矩阵方程的迭代解.将这两类方程组的求解问题分别转化为极小化问题来考虑,构造了带有参数的变尺度共轭梯度法(SCG).在相容性的条件下.给出了该方法的收敛性定理,即SCG算法的有限终止性.最后,数值实验部分将SCG与Ding等人在文献[58]中提出的GI.LSI及Tang等人在文献[121]提出的CM、SM这四种目前非常有效的方法做比较.大量的数值算例表明了SCG方法优于以上四种方法.
【学位授予单位】：福建师范大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O241.6

【共引文献】

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本文编号：2754725