非匹配三角形网格上椭圆问题的混合有限体积元法

发布时间：2020-07-20 17:13

【摘要】：本文首先介绍非匹配网格上椭圆问题的混合有限元方法,在此基础上我们提出了非匹配网格上的混合有限体积元方法,并给出相应的格式.椭圆方程的Neumann边值问题可以表示为：其中u和p分别表示流和压力.考虑到介质在Ω内不同区域的性质不同,在求解上述椭圆问题时,我们有必要对区域Ω进行分块处理.假设开集Q可分割为若干非重叠的子区域Ωi,i=1,2,…,n,即Q是闭集∪i=1nΩi(?)R2的内部,其中Ωi为开集Ωi的闭包.Γi是子区域Ωi的内部边界,即Γi=aΩi\aΩ.定义区域Ωi与Ωj的公共边界为Γij,即Γij=Γi∩Γj,其中记Γii=0进而有Γ=∪i,jΓij.为了保证非匹配边界上p和u的连续性,在交界面上需要满足如下连续性条件利用该条件,非匹配网格上的椭圆问题可以表示为：定义函数空间则上述椭圆方程的变分形式可以表示为：其中L2(Ωi)或(L2(Ωi))2上内积记为(·,·)i,L22(Γi)上内积记为的内积记为(·,·ij在Ω上定义有限元空间：则非匹配网格上的混合有限元方法可以表示为：求uh∈vh,ph∈Wh,λh∈Λh使得对于i=1,2,…,n有其中uh,i=uh|Ωi,ph,i=ph|Ωi,λh,i=ph|Γi,这种非匹配网格上的混合有限元方法解的存在性和唯一性以及收敛性都已经得到了证明(文献[30]).类似于混合有限元方法,利用边界上的连续性条件(4),我们给出了非匹配网格上的有限体积元方法.在有限体积元方法中,试探函数空间选为式(13)-(15)定义的函数空间Uh×Wh×Γh,其中Uh选取最低阶Raviart-Thomas元,Wh,Γh选取分片常数空间,即可以看出如果(j,l)∈Iik,那么对偶单元Tjl就与Tik有公共边.相应的检验函数空间为Vh×Wh×∧h,其中定义从试探函数空间到检验函数空间的投影算子γh:Uh→Vh,表示为其中|Γik|代表三角形边Γik的长度.显然投影算子γh建立了Uh和Vh空间的一一对应关系.空间Vh=γhUh同构与空间Uh,进而算子γh：Uh→Vh是有界的,一对一的.因此非匹配有限体积元方法可以表示为：求uh∈Uh,ph∈Wh,经过数值实验,结果显示,非匹配三角形网格上混合有限体积元和混合有限体积元方法的收敛速度一致.实验结果同时说明非匹配网格上的有限体积元方法的格式的正确性.
【学位授予单位】：吉林大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O241.82

【参考文献】