【摘要】：本文主要工作是发展已有的H1-Galerkin混合有限元方法、提出新的改进H1-Galerkin混合有限元格式、提出一类新的混合有限元算法和新的两层网格混合有限元算法.通过数值求解一些非线性Caputo型或Riemann-Liouville型时间分数阶偏微分方程给出算法的数值理论分析及计算结果,这些微分方程包括非线性分数阶水波模型、非线性分数阶对流扩散模型、非线性分数阶波动方程、非线性分数阶四阶双曲波问题等.为了形成全离散数值格式,时间方向上主要采用了向后Euler格式、二阶向后差分格式、二阶Crank-Nicolson格式和二阶α格式,相应的时间分数阶导数通过L1-公式、WSGD算子逼近公式、L2-1σ公式和修正L1-公式逼近方式离散.分别针对每一个混合有限元数值方法,推导了误差估计等数值理论,通过大量的计算数据对理论进行验证.详细的研究内容可概括为如下几个部分:(Ⅰ).在第三章和第四章中,利用H1-Galerkin混合有限元方法数值求解非线性时间分数阶水波模型和非线性时间分数阶对流扩散问题.对于非线性时间分数阶水波模型,时间方向上采用向后Euler离散,Caputo分数阶导数采用L1-公式逼近,进一步形成H1-Galerkin混合有限元系统.文中给出了数值格式的稳定性分析,同时推导了两个未知函数的最优H1-和L2-模误差估计,最后选择具有给定初值的数值例子对方法进行验证说明,为了观察解的表现行为,分别给出了基于不同系数参数情况下的数值图像;进一步考虑非线性时间分数阶对流扩散问题.采用二阶向后差分逼近格式离散时间方向,利用二阶WSGD算子逼近Riemann-Liouville型时间分数阶导数,相比L1公式提高了收敛阶数.给出先验误差估计的详细证明过程,获得了基于H1-和L2-模的时间二阶估计结果.通过一个数值例子说明算法的有效性,也反映了较传统有限元方法的优势.(Ⅱ).在第五章中,提出一个新的混合有限元算法用于数值求解非线性Caputo型时间分数阶波动方程.根据方程的特点,通过两个辅助函数变量的引入和分数阶时间导数的转换技巧,将原分数阶波动方程问题转化为时空低阶耦合方程组系统.借助H1-Galerkin混合有限元算法的结构框架,提出了一个新的混合有限元算法.新的混合元算法的特点是将分数阶导数从1β2降为0α1,二阶时间导数转化到一阶时间导数.进一步可以采用二阶α型逼近公式对时间进行离散,具有3-α阶的L2-1σ公式对转化后的分数阶导数进行逼近,从而形成了时间高阶的新的混合有限元系统.在数值理论上证明了稳定性不等式,推导了三个函数变量的基于L2范数的最优阶误差估计,获得了两个中间变量的最优H1-模误差结果.通过计算数据说明提出的新混合有限元算法是有效的,并通过误差的等高线图反映误差在时空区间上不同区域的表现行为和受分数阶参数变化的影响情形.(Ⅲ).在第六章和第七章中,提出新的混合有限元系统和新两层网格混合元算法用于数值求解带有Riemann-Liouville型分数阶导数的二维非线性分数阶四阶双曲波动方程.通过两个辅助变量的引入,特殊技巧的处理,形成新的三个方程组成的耦合系统.该系统的特点是时间转化成低阶导数,空间降为二阶导数,进而可以采用多种离散方式进行逼近.在这里,利用基于修正L1-逼近的Crank-Nicolson格式离散时间,采用混合有限元方法逼近空间.从稳定性和误差的数值理论上给出了详细证明,获得了最优L2-模误差估计结果,也通过大量的数据说明了提出的新混合有限元算法的可行性.进一步为了提升第六章算法的计算效率,结合两层网格方法形成一个新的两层网格混合有限元算法,并用于数值求解第六章的非线性四阶时间分数阶双曲波模型.推导了两层网格混合有限元算法的稳定性和误差估计结果.为了说明该方法计算优越性,在数值上与第六章的结果进行对比,结果显示该方法在两层网格的计算下能保持与直接细网格计算下相同的计算精度,而且很大程度上节省了计算时间.
【学位授予单位】：内蒙古大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O241.82
【图文】：
图４．１：乜和如的比较
【相似文献】
相关期刊论文 前10条
1 王娴;李东;;分数阶混沌系统的间歇控制同步[J];重庆工商大学学报(自然科学版);2018年04期
2 王诗靖;王廷江;;分数阶RL_α-C_β并联谐振电路的等效电路[J];物理通报;2017年01期
3 王廷江;;分数阶RL_α-C_β并联谐振频率简易表达式[J];物理通报;2017年04期
4 王婷;张丽娟;达佳丽;;浅析分数阶微分方程三点共振边值问题正解的存在[J];课程教育研究;2017年32期
5 李明;陈旭;郑永爱;;一类分数阶混沌系统的自适应滑模同步[J];扬州大学学报(自然科学版);2016年03期
6 李特;袁建宝;吴莹;;一类不确定分数阶混沌系统同步的自适应滑模控制方法[J];动力学与控制学报;2017年02期
7 赖满丰;金玲玉;;分数阶Klein-Gordon-Schr?dinger方程弱解的存在性[J];佛山科学技术学院学报(自然科学版);2017年03期
8 田魏巍;;非线性分数阶动力系统的控制研究[J];教育现代化;2017年22期
9 沈细群;李安平;;基于模糊神经网络的分数阶混沌系统的同步研究[J];湖南工程学院学报(自然科学版);2017年03期
10 魏含玉;夏铁成;;带分数阶自相容源的分数阶超Broer-Kaup-Kupershmidt族[J];数学进展;2016年03期
相关会议论文 前10条
1 罗绍凯;;分数阶动力学基本理论与方法的研究进展[A];第十二届全国分析力学学术会议摘要集[C];2016年
2 孟瑞繁;殷德顺;;分数阶本构模型描述流变现象时间效应的物理意义[A];中国力学大会-2015论文摘要集[C];2015年
3 李西成;;经皮吸收的分数阶药物动力学模型[A];中国力学学会学术大会'2009论文摘要集[C];2009年
4 顾葆华;单梁;李军;王执铨;;一种新分数阶混沌系统及其复合快速同步控制[A];2009年中国智能自动化会议论文集（第七分册）[南京理工大学学报（增刊）][C];2009年
5 谢勇;;分数阶模型神经元的动力学行为及其同步[A];第四届全国动力学与控制青年学者研讨会论文摘要集[C];2010年
6 张硕;于永光;王亚;;带有时滞和随机扰动的不确定分数阶混沌系统准同步[A];中国力学大会——2013论文摘要集[C];2013年
7 李常品;;分数阶动力学的若干关键问题及研究进展[A];中国力学大会——2013论文摘要集[C];2013年
8 王淑英;赵建峰;常迎香;李险峰;;基于假分数阶统一混沌系统同步的图像加密[A];第十五届全国非线性振动暨第十二届全国非线性动力学和运动稳定性学术会议摘要集[C];2015年
9 刘杰;董鹏真;尚钢;;分数阶非线性系统动力学分析中数值算法可靠性及其诱导的复杂现象[A];中国力学学会学术大会'2009论文摘要集[C];2009年
10 李花;南群;范周田;田甄;程妍妍;胡健;高翔;;一维皮肤分数阶热传导方程中参数对瞬态温度场的影响[A];第十二届全国生物力学学术会议暨第十四届全国生物流变学学术会议会议论文摘要汇编[C];2018年
相关博士学位论文 前10条
1 宋sデ
本文编号：2776418
本文链接：https://www.wllwen.com/kejilunwen/yysx/2776418.html
