向量集值Topical映射的抽象凸性研究及其应用

发布时间：2020-08-04 13:28

【摘要】：本文主要在抽象凸背景下对topical这一典型抽象凸函数进行了研究和推广。首先,利用标量化的方法,讨论了由一类向量值topical函数构成的约束优化问题的有效解及弱有效解。再将topical函数的承托集推广到向量情形,重新引入了一种更广的向量topical函数的概念以及一种集值topical函数,并建立了对应的抽象凸理论。在此基础之上,研究了含topical函数的DC型优化的对偶,同时,针对极值约束优化问题,结合像空间分析方法,建立了Lagrange型共轭对偶。再借助对向量集值形式的topical函数的讨论,将这一对偶进一步推广到了向量情形。全文分为六章,具体如下:第一章,首先简要阐述了最优化相关理论的发展与研究情况。然后,对抽象凸分析、topical函数、标量化方法、像空间分析方法以及共轭对偶理论的发展与研究概况进行了回顾。最后,给出了本文的研究动机与主要工作。第二章,介绍了本文所需的一些符号、假设以及相关基本定义和性质。主要涉及抽象凸分析中各种基本工具,topical函数的抽象凸性,Gerstewitz(Tammer)所提出的非线性标量化函数,(Tanino,1992)中所提出的上确界以及像空间分析方法中的分离函数等内容。第三章,采用标量化方法处理由一类向量值topical函数所定义的约束向量优化问题。首先考虑了Gerstewitz非线性标量化函数两种对称形式和它们的凸组合的抽象凸性以及对极大元的刻画。借助这一系列的函数对所考虑的topical向量约束优化问题进行标量化处理,并将其转化成等价的不等式系统。通过共轭函数上图,承托集,水平集的极化集三个方面,建立了不等式系统的一系列Farkas型结果。利用这些结果给出了topical向量约束优化问题有效解与弱有效解的等价刻画。第四章,考虑在抽象凸意义下引入向量以及集值的topical函数,并建立其各自相应的抽象凸理论。我们首先引入了一种向量形式的topical函数,该函数可以完全退化到标量情形的经典topical函数,也包含了第三章中所讨论的向量topical映射,并且还可以作为像空间分析中的一类分离函数。通过对topical映射的承托函数的相应推广和研究,我们借助Tanino所提出的一种上确界概念,建立了该向量值topical函数的上包络结果。从而进一步在抽象凸框架下,引入共轭函数,次微分等相关概念进行研究,并对它们之间的关系进行了讨论。在此基础之上,我们进一步定义了集值形式的topical函数,并将上述抽象凸理论推广到了集值映射的情形。第五章,利用topical函数的抽象凸理论,研究了几类约束优化问题的共轭对偶。我们首先考虑了目标函数为两个向量topical映射之差的一类约束向量优化,利用向量topical映射的抽象凸性质建立了相应的对偶,并且我们亦考虑了目标函数为两个集值topical映射之差的情形。其次,在抽象凸环境下,我们利用topical函数的承托集给出一类Lagrange型共轭对偶。针对约束极值优化问题,我们对约束进行扰动,并借助topical函数的承托集引入了一种Lagrange型共轭对偶。借助像空间分析的思想,将零对偶间隙与强对偶转化成像空间中两个集合的分离,引入分离函数进行讨论。得到了一般的约束极值优化问题达到零对偶间隙和强对偶的一些等价刻画和充分性条件。随后,我们进一步考虑了一类特殊的非凸约束极值优化问题。在这一对偶框架下,这一类非凸优化问题能够很容易达到零对偶间隙。在此基础之上,利用本文第四章中提出的集值topical映射及其在抽象凸框架下的相应理论,我们进一步将这一对偶推广到向量情形,讨论了约束向量优化问题的零对偶间隙和强对偶。第六章,对本文的主要内容进行简单的总结,并指出了一些后续工作中准备考虑的问题。
【学位授予单位】：重庆大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O224
【图文】：

可行域,解集,弱有效解,线段

1(VTP )的可行域。图3.1： 1(VTP )的可行域Fig. 3.1 Feasible Set of通过图3.1可以看出， 1(VTP )的有效解解集为线段 AB ，而 1(VTP )的弱有效解解集则由三个部分组成，线段 AB ，以及射线21 2 1 2{( x , x ) :x 0, x 2}和21 2 1 2{( x , x ) :x 1, x 1}。我们以为0x B (0,2)例结合承托集的对偶刻画来进行分析，经过简单的计算可以得到：0 0, ( ) 1 2 ,( ) 1 2( ) min{

【参考文献】