非齐次A—调和方程很弱解的性质

发布时间：2020-08-12 22:40

【摘要】：因为A-调和方程能够更为精确地描述电磁场、相对论、弹性理论及非线性位势理论中的复杂现象,这使得它自提出以来就被广泛应用于这些领域及其相关领域。此外,A-调和方程和拟正则映射之间具有密切的关系,它可为拟正则映射的研究提供理论依据,而拟正则映射一直是众多数学家研究的热门问题。所有的这些都促使A-调和方程的理论研究受到广大专家学者的关注。本文主要研究具有下列形式的非齐次A-调和方程-divA(x,u,(?)u)=f(x)+div(|(?)u|~(p-2))(?)u),x∈Ω很弱解的性质。首先,通过分析问题,并对很弱解进行Hodge分解、进而结合Hardy-Littlewood最大函数的性质以及Young不等式、Holder不等式等基本不等式,探讨非齐次A-调和方程很弱解的比较原理;并得到以下结论:定理1(比较原理)设Ω(?)R~n是有界区域,则存在常数0ε_0=ε_0(n,p,β/α)1,使得当rp-ε_0时,某种结构性条件的非齐次拟线性A-调和方程(1)的两个很弱解函数u_1,u_2∈W~(1,r)(Ω)在Sobolev意义下满足:若u_1(x)≥u_2(x)(或u_1(x)≤u_2(x))成立,在区域Ω的边界(?)Ω上,则u_1(x)≥u_2(x)(或u_1(x)≤u_2(x))几乎处处成立,在区域Ω上。接着,应用Hodge分解、Sobolev嵌入定理和正则性理论等,在特定的结构性条件下,讨论了非齐次拟线性A-调和方程(1)很弱解的梯度可积性。即,定理2(正则性定理)设f∈L_(loc)~(nq/(n(p-1)+q)(Ω),qp,存在可积指数1r_1=r_1(n,p,α,β)pr_2=_2r(n,p,α,β)∞,使得满足结构性条件(H1)-(H3)的非齐次拟线性A-调和方程(1)的每一个很弱解u∈W_(loc)~(1,r_1),(Ω)都属于W_(loc)~(1,r_2)(Ω),从而u是经典意义下的弱解。
【学位授予单位】：闽南师范大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O175

【参考文献】