受控理论与广义幂凸函数

发布时间：2020-08-13 04:19

【摘要】：受控理论几乎渗透到数学的各个分支领域而且处处扮演者精彩的角色.在受控理论的研究中,有两项工作是重要而基础的,一是发现和建立向量间的控制关系,二是发现和证明各种Schur-凸函数.因为控制关系深刻地描述了向量间的内在联系,一个控制关系与适当的Schur-凸函数的结合,常常能繁衍出许多形形色色的有趣的不等式.凸函数与Schur-凸函数是密不可分的,一个广为人知的结论是:多元对称凸函数是Schur-凸函数.近年来,有关广义凸函数的研究是一个非常活跃的课题.有些广义凸函数和Schur-凸函数理论结合起来可以构建一些新的Schur-凸函数理论,例如几何凸函数和Schur-几何凸函数理论,调和凸函数和Schur-调和凸函数理论.本学位论文的具体内容如下:首先,证明了一个涉及循环移动平均的控制不等式,这是由一个单调递减的向量生成的两个向量之间的一种控制关系.从而解决了 Ingram Olkin教授在2006年提出的一个公开问题.其次,引入了一种广义凸函数:算术m-幂凸函数.当m = 1时,算术m-幂凸函数是凸函数.并证明了如下结论:多元对称算术m-幂凸函数是Schur-凸函数.并且研究了算术m-幂凸函数的性质,进而讨论了初等对称复合函数的Schur-凸性及其逆问题,并建立了几个涉及算术平均的不等式.然后,引入了几何m-幂凸函数和调和m-幂凸函数.当m = 0时,几何m-幂凸函数是几何凸函数;当m =-1时,调和m-幂凸函数是调和凸函数.并证明了如下结论:多元对称几何(调和)m-幂凸函数是Schur-几何(调和)凸函数.并且研究了几何m-幂凸函数和调和m-幂凸函数的性质,进而讨论了初等对称复合函数的Schur-几何(调和)凸性及其逆问题,并建立了几个涉及几何和调和平均的不等式.最后,引入了广义幂凸函数的概念,本文记为Mm1-Mm2-凸函数.当m1分别等于1,0,-1时,Mm1-Mm2-凸函数分别是算术m2-幂凸函数,几何m2-幂凸函数和调和m2-幂凸函数.并证明了如下结论:多元对称Mm1Mm2-凸函数是Schur m1-幂凸函数.并且研究了Mm1Mm2-凸函数的相关性质。
【学位授予单位】：内蒙古大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O174.13

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本文编号：2791515