若干非线性发展方程组的数值解法研究

发布时间：2020-08-17 20:30

【摘要】：本文采用有限差分方法,正交样条配置方法,时间分裂步方法以及谱方法,具体研究了Schr?dinger-Boussinesq(SBq)方程,Klein-Gordon-Schr?dinger(KGS)方程,耦合Gross-Pitaevskii(CGP)方程以及修正Gross-Pitaevskii(MGP)方程的数值解法.由于SBq方程为四阶非线性耦合方程组,为了构建SBq方程的三点紧差分格式,我们采用降阶法将两分量耦合的四阶偏微分方程(PDE)等价转化为三分量耦合的二阶PDE.基于降阶方程组构建了两个守恒的非线性紧差分格式,利用守恒性得到数值解的先验估计,然后通过离散能量方法证明了数值解的存在性,收敛性以及稳定性.由于非线性紧差分格式需要进行迭代运算,十分耗机时.为此构建了SBq方程的线性紧差分格式,其优势在于无需迭代运算,提高了计算效率,但问题是线性格式不能严格保证离散能量的守恒性.为此定义了三项递推序列,基于该序列定义了新形式的离散能量表达式,并证明了线性格式的守恒性,最后采用cut-off截断函数法证明了收敛性.运用正交样条配置(OSC)方法构建了SBq方程的两个守恒OSC格式.对于非线性OSC格式,基于离散能量守恒律得到了数值解有界性估计,由此证明了数值解的存在性,收敛性以及稳定性.对于线性OSC格式,通过新定义的三项递推序列,证明了线性OSC格式的离散能量守恒性.由于无法利用离散能量表达式对数值解进行先验估计,为此采用cut-off截断函数法证明了线性OSC格式的收敛性.在前面的工作中,分别运用有限差分方法以及OSC方法研究了SBq方程的数值解问题,进一步我们运用Fourier拟谱方法继续研究该方程.构建了SBq方程的时间分裂指数波积分Fourier拟谱(TS-EWI-FP)方法,对于Schr?dinger-like方程采用时间分裂Fourier拟谱方法,而对于Boussinesq-like方程则采用指数波积分Fourier拟谱方法进行求解.TS-EWI-FP方法为全显格式且可利用快速Fourier变换有效求解.由于TS-EWI-FP方法缺乏严密的理论分析,为此我们研究了KGS方程的指数波积分Fourier拟谱(EWI-FP)方法.EWI-FP方法为全显格式,在时间方向可达到二阶精度,在空间方向为谱精度.在理论上,我们利用数学归纳法证明了EWI-FP方程的H~1模误差估计,而对于高维KGS方程,在适当的正则性条件下可证明EWI-FP方法的H~2模误差估计.对于CGP方程,我们考虑了带角动量旋转项CGP方程的显式差分格式.事实上,CGP方程的显式差分格式是很容易构造的,所以该工作的意义在于分析显式差分格式的最大模误差估计并确定CFL条件.首先利用数学归纳法证明了显差分格式的_2L模误差估计,然后综合利用离散能量方法,时间与空间变量变换技巧以及降阶法证明了显差分格式的L_?模误差估计.在文章最后讨论了MGP方程的时间分裂步差分方法,该方法不需要求解大规模的差分方程组,可以借助快速正弦变换有效求解.另外该方法不会随着差分格式空间精度的提高而增加计算量,因此我们可通过构建高精度差分格式以期望获得与谱方法相近的精度,具体讨论了空间四阶与六阶精度的时间分裂差分方法.
【学位授予单位】：南京航空航天大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O241.7
【图文】：

表 2.3 格式 B 求解例 2.22( t 10, h)的误差与收敛阶.h , uE h ,/2, /4uuE hE h , vE h ,/2, /4vvE hE h 0.4 6.2677e-3 5.0790e-30.2 3.9363e-4 15.923 3.1747e-4 15.9980.1 2.4617e-5 15.990 1.9835e-5 16.0060.05 1.5391e-6 15.994 1.2396e-6 16.0010.025 9.8212e-8 15.671 7.7481e-8 15.999表 2.4 格式 B2( t 10, h)求解例 2.2 的扰动误差. =0.01 =0.001 =0.0001h 2 L h , 2 L h , 2 L h , 0.4 3.2112e-2 1.2311e-2 1.1418e-20.2 2.7916e-2 3.0018e-3 8.2116e-40.1 2.7781e-2 2.7643e-3 2.8902e-40.05 2.7774e-2 2.7542e-3 2.7580e-40.025 2.7772e-2 2.7536e-3 2.7517e-4

若干非线性发展方程组的数值解法研究了数值格式的稳定性. 另外, 从表2.2与表3.4的每一列的趋势可以看出扰动误差随空间步长的减小而趋于一个固定的值, 这也从另一个角度验证了格式的收敛性.

若干非线性发展方程组的数值解法研究了数值格式的稳定性. 另外, 从表2.2与表3.4的每一列的趋势可以看出扰动误差随空间步长的减小而趋于一个固定的值, 这也从另一个角度验证了格式的收敛性.图 2.2 格式 A( h 0.1)求解例 2.1 在 t [0， 10 ]的数值解.

【参考文献】

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本文编号：2795796