关于凸的混合Lorentz-Sobolev不等式研究及其应用

发布时间：2020-10-27 02:41

　　 等周问题和Minkowski问题是几何学中的两个核心内容.等周不等式起源于等周问题,是数学中最古老最优美的不等式之一,影响了数学各个分支的发展.等周不等式与分析中的Sobolev不等式等价.1999年,Gaoyong Zhang利用Minkowski问题的解构造了一类具有仿射不变性的Sobolev型不等式,并证明它不仅强于经典的Sobolev不等式,而且还与著名的Petty投影不等式等价.受Zhang工作的影响,更多更强的仿射Sobolev型不等式被发掘.目前,具有几何背景的分析不等式研究是凸几何分析中的热点之一.1993年,Lutwak定义了两凸体的L_p混合体积,并得到了关于两凸体的L_p-Minkowski混合体积不等式.L_p-Minkowski不等式是凸几何分析中最重要的不等式之一.特别地,当其中一个凸体为球时,L_p-Minkowski混合体积不等式即是L_p等周不等式.L_p等周不等式是经典等周不等式的自然推广,L_p等周不等式与分析中的L_p-Sobolev不等式等价.2011年,Ludwig-Xiao-Zhang构造了一个强凸的Lorentz-Sobolev不等式,证明它强于L_p-Sobolev不等式并等价于L_p等周不等式.首先,我们研究多面体的Orlicz-Minkowski问题(也称为L_φ-Minkowski问题,其中φ是连续函数).当φ是单调递减的连续函数时,2010年Haberl-Lutwak-Yang-Zhang得到了偶Orlicz-Minkowski问题解的存在性.我们主要研究φ是单调递增的连续函数时的Orlicz-Minkowski问题,我们得到了对应的离散Orlicz-Minkowski问题解存在性的充分条件.我们的结果推广了Guangxian Zhu得到的p0情形的离散L_pMinkowski问题.其次,研究与凸体的L_p-Minkowski混合体积不等式等价的Sobolev型不等式.Minkowski问题是研究具有几何背景的分析不等式的重要工具.利用L_p-Minkowski问题的解,我们得到了一个新的Sobolev型不等式,并证明它包含了一个凸体和另一个凸体的L_pPetty投影体的Minkowski混合体积不等式.值得注意的是,它的特殊情形是Ludwig-Xiao-Zhang得到的强凸Lorentz-Sobolev不等式.因此,我们称这个新的Sobolev型不等式为凸的混合Lorentz-Sobolev不等式.受Lutwak-Yang-Zhang研究L_pJohn椭球的思想启发,我们利用凸的混合Lorentz-Sobolev不等式给出了函数型L_pJohn椭球的概念.最后,我们还研究了混合Pólya-Szeg?准则.利用混合Pólya-Szeg?准则,我们得到了一些新的混合Sobolev型不等式.
【学位单位】：西南大学
【学位级别】：博士
【学位年份】：2018
【中图分类】：O186.5
【文章目录】：
摘要
Abstract
第1章 绪论
    1.1 等周问题
        1.1.1 经典等周不等式
p等周不等式'>        1.1.2 L_p等周不等式
        1.1.3 仿射等周不等式
    1.2 Minkowski问题
        1.2.1 经典Minkowski问题
p-Minkowski问题'>        1.2.2 L_p-Minkowski问题
        1.2.3 Orlicz-Minkowski问题
    1.3 论文的结构安排与主要结果
p-Brunn-Minkowski理论'>第2章 L_p-Brunn-Minkowski理论
pMinkowski混合体积不等式'>    2.1 L_pMinkowski混合体积不等式
    2.2 Laplace第一特征值
p Petty投影体'>    2.3 L_p Petty投影体
p John椭球'>    2.4 L_p John椭球
第3章 Orlicz-Minkowski问题
p Minkowski问题'>    3.1 L_p Minkowski问题
    3.2 一个极值问题
        3.2.1 一般测度的Orlicz-Minkowski问题
        3.2.2 一个极值问题
    3.3 Orlicz-Minkowski问题的解
第4章 混合Lorentz-Sobolev不等式
p凸化'>    4.1 函数的L_p凸化
        4.1.1 预备知识
p凸化'>        4.1.2 水平支集的L_p凸化
    4.2 凸的混合Lorentz-Sobolev不等式
p John椭球'>    4.3 函数型L_p John椭球
第5章 混合Pólya-Szeg?准则
    5.1 Pólya-Szeg?准则
    5.2 混合Pólya-Szeg?准则
    5.3 一些应用
结束语
参考文献
致谢
攻读博士学位期间完成和发表的学术论文

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本文编号：2857902