扩展BKP方程族的双线性等式及非交换离散KP方程的扩展

发布时间：2020-11-08 07:46

　　 带自相容源的可积系统和孤立子方程在数学和物理学中有重要的应用。近年来,可积系统和孤立子方程的带自相容源拓展吸引了很多研究者的兴趣。其中一种重要的扩展方法是平方特征函数对称方法(或称“ghost”流对称),已经在很多种可积系统上得以应用,例如通过平方特征函数对称方法得到了扩展的B型Kadomtsev-Petviashvili方程族(简称扩展BKP方程族)。Darboux变换和双Darboux变换,作为求解孤立子方程的重要工具之一,在平方特征函数对称方法中也起到了非常重要的作用。在离散可积系统中,如离散KP方程,构造出由特征函数和伴随特征函数构成的势函数是实现双Darboux变换的必要途径。本文第一部分主要研究扩展BKP方程族的双线性等式。对扩展BKP方程族,我们通过引入满足平方特征函数对称的辅助时间流,先对原BKP方程族附加上辅助时间流构造了双线性留数恒等式,再将辅助时间流结合到特定某个时间流上形成扩展BKP方程族,最终得到了扩展BKP方程族的双线性恒等式。我们在定义了扩展BKP方程族的τ-函数后,由双线性恒等式生成了扩展BKP方程族的Hirota双线性方程的零曲率形式,并计算了一些特定指标下的例子,这些例子包括两类带自相容源的(2+1)-维Sawada-Kotera方程的双线性方程。这其中的第二型带自相容源的(2+1)-维Sawada-Kotera方程(2d-SKw S-II)的Hirota双线性方程是一个新结果。我们对得到的双线性方程给出了转写为非线性偏微分方程的方法,也计算了一些例子,这验证了我们得到的结果的正确性。这些双线性方程是之后的求n-孤立子解、拟周期解等研究工作的基础。本文第二部分主要构造了扩展的非交换离散KP方程。我们通过离散变量的势函数推导出了离散变量的非交换离散KP方程的双Darboux变换的具体表达式和多次迭代双Darboux变换的拟行列式表达。我们通过平方特征函数对称性质,以双Darboux变换为工具,对某个特定方向上的移位算子进行了修正,从而扩展了非交换离散KP方程。我们给出了带自相容源的非交换离散KP方程的线性问题及其伴随线性问题的具体表达式,并给出了退化至交换情形的带自相容源的离散KP方程的方法。本文得到的带相容源的非交换离散KP方程是先前的研究中未曾提出的,在接下来的研究中我们可以考虑求得其精确解的表达式。
【学位单位】：清华大学
【学位级别】：硕士
【学位年份】：2015
【中图分类】：O175.29
【文章目录】：
摘要
Abstract
主要符号对照表
第1章 引言
    1.1 选题背景及意义
    1.2 文献综述
    1.3 文章各部分的主要内容
第2章 预备知识
    2.1 重要引理
    2.2 拟行列式简介
第3章 扩展BKP方程族的双线性恒等式构造
    3.1 扩展BKP方程族简介
    3.2 带平方特征函数对称的BKP方程族的双线性恒等式
    3.3 扩展BKP方程族的双线性恒等式
    3.4 扩展BKP方程族的τ函数及双线性方程
    3.5 将双线性方程转写为非线性偏微分方程
第4章 非交换离散KP方程的带自相容源拓展
    4.1 非交换离散KP方程及其双Darboux变换
    4.2 非交换离散KP方程的拟行列式解
    4.3 带自相容源的非交换离散KP方程
第5章 结论
    5.1 论文的主要工作
    5.2 进一步开展的工作
参考文献
致谢
个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果

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本文编号：2874488