非自治离散动力系统若干混沌问题研究

发布时间：2020-11-08 08:23

　　 混沌作为非线性动力系统普遍存在的运动形式,是非线性科学研究的核心内容之一.目前对于自治离散动力系统混沌理论的研究,已经有了丰富的结果.由于现实世界中很多复杂的系统,例如物理学,生物学,经济学中的大多数模型,其中的参数往往会受外界因素的干扰,一般都会随着时间的流逝而发生变化,所以必须用非自治系统才能更好的刻画其模型的动力学行为.因此目前很多学者开始研究非自治离散动力系统的复杂性.本文研究了非自治离散动力系统的若干混沌问题,包括非自治离散动力系统的李雅普诺夫指数的性质,特别是李雅普诺夫指数的正负与系统敏感性和稳定性的关系;非自治离散动力系统的分布混沌的性质与判定;非自治离散动力系统的一些混沌性质之间的关系.本文首先研究了非自治离散动力系统的李雅普诺夫指数的性质.我们知道李雅普诺夫指数同拓扑熵一样,可以从定量的角度来刻画动力系统的复杂程度.众所周知,对于自治离散动力系统,正熵系统是在Li-Yorke意义下混沌的[12].如果利用李雅普诺夫指数来刻画动力系统的复杂性,系统在一点处有正的李雅普诺夫指数是否蕴含敏感性,有负的李雅普诺夫指数是否蕴含稳定性呢?我们常常想当然的认为这个答案是肯定的.但是,在2001年,Demir与其合作者通过两个例子说明了这个结论对于一般的区间映射不一定是对的[20].所以,研究李雅普诺夫指数的正负与系统敏感性和稳定性之间的关系是一个非常有趣的问题.在2010年,Kocak和Palmer得到了对于某些条件下的可微的区间映射,这个结论是成立的[40].受他们工作的启发,我们思考对于非自治离散动力系统,这个问题的答案又是如何?在本文中,我们引入非自治离散动力系统的李雅普诺夫指数的概念,并且分别讨论了正的李雅普诺夫指数与系统敏感性,负的李雅普诺夫指数与系统稳定性之间的关系.本文接下来研究了非自治离散动力系统的分布混沌.目前对于混沌没有一个统一的定义,在离散动力系统中常见的几种混沌定义有Li-Yorke混沌,Devaney混沌,Wiggins混沌,generic混沌,稠混沌,分布混沌等.对于非自治离散动力系统,在混沌领域方面也有了一些研究进展.例如,田传俊和陈关荣将Devaney混沌的概念推广到了非自治离散动力系统中,并且研究了它的某些性质[84].2009年,史玉明和陈关荣将混沌的相关概念,例如,拓扑传递,敏感性,Li-Yorke,Wiggins,和Devaney意义下混沌等推广到了一般的非自治离散动力系统中,并且建立了一个由关于某一类不可约转移矩阵的严格耦合扩张所诱导的Li-Yorke混沌的判定准则[74].但是对于分布混沌,目前结果较少,特别是在混沌判定方面.所以本文研究了非自治离散动力系统的分布混沌和几种弱意义下的分布混沌的性质,讨论了分布混沌与Li-Yorke混沌之间的关系,并且给出了几个分布混沌的判定准则.在离散动力系统混沌领域方面,人们最常研究的两个问题:其一,给出某些意义下的混沌判定准则;其二,探讨某些混沌性质之间的关系.在本文最后,我们研究了非自治离散动力系统中一些常见的混沌性质之间的关系.我们主要讨论了弱混合,拓扑弱混合,generic混沌,稠混沌,敏感性,和Li-Yorke敏感性之间的一些关系.本文的具体安排如下:本文分为五章.第一章是预备知识.首先,我们引入本文的研究对象,即非自治离散动力系统,之后依次回顾一下目前在自治离散动力系统和非自治离散动力系统混沌领域方面的一些研究进展.其次,我们介绍一下本文用到的一些关于非自治离散动力系统的基本概念.再次,我们在本文中引入非自治离散动力系统中的几种关系,然后讨论一下这几种关系的一些性质,并且给出相关的概念和引理.最后,我们给出序列密度的概念和相关引理,同时也介绍一下本文所用到的符号动力系统的相关知识.在第二章中,我们研究了非自治离散动力系统的李雅普诺夫指数的相关性质,特别是李雅普诺夫指数的正负与系统敏感性和稳定性的关系.首先,我们对非自治离散动力系统引入了一些新的概念,包括李雅普诺夫指数,在一点和一个集合上的强敏感性,李雅普诺夫稳定性,和指数渐进稳定性.我们证明了对于一类非自治离散动力系统,在某一点若有正的李雅普诺夫指数,则系统在此点会出现强敏感性.利用类似的证明方法,我们证明了如果系统在一个完全不变集上有一致正的李雅普诺夫指数,则系统在某些条件下在这个集合上是强敏感的.我们也证明了对于一类非自治离散动力系统,若系统在某一点有负的李雅普诺夫指数,则系统是指数渐近稳定的.最后我们给出一个具体的例子-非自治logistic系统来对我们的结果加以说明和应用.在第三章中,我们研究了非自治离散动力系统的分布混沌.首先在紧致度量空间中,我们证明了非自治离散动力系统是Li-Yorke δ-混沌的等价于它是序列分布δ'-混沌的;其次,我们给出了非自治离散动力系统的三个分布δ-混沌的判定准则,它们分别是由拓扑混合,平均渐近跟踪性质,和某个扩张条件所诱导,其中δ和δ'是两个正的常数.再次,在一般的度量空间中,我们给出了一个由熊混沌集所诱导的序列分布混沌的判定准则.自从分布混沌的概念提出后,一些学者又提出了三种弱意义下的分布混沌概念.在本章的最后一部分,我们考虑了非自治离散动力系统中的几种弱意义下的分布混沌,即DC1,DC2,和DC21/2.我们证明了 DC1,DC2,和DC21/2在迭代作用下依然被保持.我们也证明了 DC1,DC2,和DC21/2在拓扑等度共轭作用下也是保持的.这些结果推广了自治情形下的某些结果并且减弱了某些相应的条件.在第四章中,我们考虑了非自治离散动力系统中的若干混沌性质之间的关系.首先我们研究了弱混合,拓扑弱混合,generic混沌,稠混沌,和初值敏感依赖性之间的关系,比较了它们之间的强弱.我们证明了对于可测的,且测度是满支撑的非自治离散动力系统,弱混合严格强于拓扑弱混合;在紧致度量空间中,拓扑弱混合性质严格强于generic混沌;在完备度量空间中,genericδ-混沌和稠δ-混沌等价;稠δ-混沌蕴含初值敏感依赖性;在一般的非自治离散动力系统中,拓扑弱混合性质严格强于初值敏感依赖性等.然后,我们也给出了几个初值敏感依赖性的一些等价条件,并且讨论了敏感性和Li-Yorke敏感性之间的关系.在第五章中,我们对本文工作进行总结,并对未来工作有一些展望.
【学位单位】：山东大学
【学位级别】：博士
【学位年份】：2018
【中图分类】：O19
【文章目录】：
中文摘要
英文摘要
符号说明
第一章 预备知识
    §1.1 引言
    §1.2 非自治离散动力系统的一些基本概念
    §1.3 非自治离散动力系统中的一些关系
    §1.4 序列密度和符号动力系统的相关理论
第二章 非自治离散动力系统李雅普诺夫指数与敏感性和稳定性的关系
    §2.1 引言
    §2.2 准备工作
    §2.3 正的李雅普诺夫指数和敏感性的关系
    §2.4 负的李雅普诺夫指数和稳定性的关系
    §2.5 一个例子
第三章 非自治离散动力系统的分布混沌
    §3.1 引言
    §3.2 Li-Yorke δ-混沌和序列分布δ-混沌之间的关系
    §3.3 紧致度量空间中的三个分布混沌的判定准则
    §3.4 一般度量空间中的一个序列分布混沌的判定准则
    §3.5 几种弱意义下的分布混沌
第四章 非自治离散动力系统中的若干混沌性质之间的关系
    §4.1 引言
    §4.2 准备工作
    §4.3 若干混沌性质之间的关系
    §4.4 敏感性和Li-Yorke敏感性
第五章 总结与展望
    §5.1 总结
    §5.2 展望
参考文献
致谢
读博期间发表和完成的论文
学位论文评阅及答辩情况表

【参考文献】

相关期刊论文 前5条

1 卢天秀;朱培勇;吴新星;;非自治离散系统的分布混沌性[J];数学物理学报;2015年03期

2 李健;谭枫;;关于Li-Yorke δ-混沌与按序列分布δ-混沌的等价性[J];华南师范大学学报(自然科学版);2010年03期

3 ;Furstenberg family and chaos[J];Science in China(Series A:Mathematics);2007年09期

4 顾国生,熊金城;关于分布混沌的一点注记[J];华南师范大学学报(自然科学版);2004年03期

5 杨润生;按序列分布混沌与拓扑混合[J];数学学报;2002年04期

本文编号：2874525