具有时滞的生物系统时空动力学研究

发布时间：2020-11-17 02:27

　　 绝大多数生物系统的发展演化具有两个显著特征:一是存在时滞,即系统的发展演化不仅依赖于当前的状态,还与过去的状态有关;二是存在空间扩散,即无论是人还是其它生物都生活在空间环境中,并在空间上进行扩散。因此,利用具有时滞的反应扩散动力学模型能够更准确地刻画生物系统演化的时空现象。本文针对几类生物系统,建立了具有时滞的捕食者-食饵和传染病扩散模型,通过研究系统的时空动力学行为,发现系统存在Hopf分支,Turing分支(Turing失稳)以及丰富的点状、迷宫和黑眼斑图,进一步研究了 Hopf分支周期解的稳定性及周期等性质,并计算了传染病流行结束后的最终流行病规模。该研究结果解释了某些生物系统中出现周期振荡现象以及空间斑图呈现的原因,为研究捕食者-食饵系统和传染病的演化规律及发展过程提供理论基础,为后续演化规律预测提供一定的参考。主要研究内容概括如下:(1)介绍了几类典型生物动力系统研究的背景与意义;总结了生物动力系统建模和分析的基本方法及研究进展,同时给出了一些基本概念和理论;并介绍本文的主要工作。(2)建立了一个具有额外食物供应的时滞捕食者-食饵扩散模型,给出了 Hopf分支的存在条件,进一步利用中心流形定理和规范型理论,给出了分支方向、分支周期解的稳定性、周期和振幅。通过数值模拟展示了空间周期解。研究表明时滞可使捕食者和食饵以周期振荡的形式持续共存。(3)建立了一个捕食者种群中有传染病传播的时滞捕食者-食饵扩散动力学模型,利用特征方程根的分布,给出了系统发生失稳的时滞条件及Turing失稳的扩散条件。通过数值模拟展示了两种不同的黑眼斑图。研究表明在捕食者种群中有传染病条件下,时滞影响了捕食者和食饵的稳定共存,而扩散影响了捕食者和食饵在空间上的分布结构。(4)建立了具有潜伏期时滞的SEI传染病扩散模型,通过直接分析超越特征方程根的分布,给出了 Hopf分支和Turing分支发生的条件。通过数值模拟,展示了染病者的数量随时间变化呈现周期振荡现象以及染病者的Turing斑图演化过程。研究表明潜伏期时滞可引发系统出现周期解,而扩散诱导染病群体以不同的形式出现聚集现象,如点状斑图,迷宫斑图以及黑眼斑图等形式。该结果可为传染性疾病的防控提供理论指导。(5)基于年龄结构思想,通过严格的数学推导,构建了具有自适应重连和染病期时滞的SIR网络传染病模型,分析了基本再生数以及最终流行病规模。通过数值和随机模拟发现:自适应重连可以抑制传染性疾病的传播并推迟传染病的爆发时间,而染病期的延长会促进疾病的传播。该结果可为具有时滞因素的生物系统的建模研究提供新的方法,并为疾病的防控提供理论基础。
【学位单位】：中北大学
【学位级别】：博士
【学位年份】：2018
【中图分类】：O175
【部分图文】：

图１．１?ＳＩＲ传染病的仓室框图??

系统（２．１）的平衡点ｆ将失去稳定性，并从这个平衡点分支出一族渐近稳定的空间齐??次周期解。而且，／／２＞０，乃＞〇表明分支方向是超临界的，且周期随着时间的增大而增??大。图２．１和图２．２展示了上述现象。图２．１?（ａ）和（ｂ）展示了当ｒ?＝?０．％＜?＜时，正平衡点￡＊??是渐近稳定的，而且（ｃ）（ｅ）和（ｄ）（ｆ）分别展示了在不同空间位置ｘ?＝?８，ｘ?＝?１５处的食饵和捕??食者的数量随时间变化的情况，即食饵和捕食者的数量在不同的空间位置最终都趋于平??衡点并且在不同的空间位置，数量随时间演化的过程都一样。在图２．２（ａ）和（ｂ），当??ｒ?＝?ｌ．ｌ＞ｒ；；时，空间齐次的周期解是渐近稳定的，Ｉｆｌｆ且在图（ｃ）（ｅ）和（ｄ）（ｆ）中，食饵和捕食??齐的数迮个同空间位置ｘ?＝?８，?＾?＝?１５处随时Ｉ＇ｌｉｊ做周期振荡，Ｈ报荡的频率和报幅在不同??的空间位置是…样的。??３４０１?１１５飞??（ａ）?〇〇?Ｔｉｍｅｔ?（ｂ）?０?０?Ｔｉｍｅｔ??３４０．???■?＞?■??１１４｜?．?．?．?１???３３０?Ｌ?１１２＾??１３１。＾?；卜＾???ｗ?ｗ??２８０ｏ?５００?ｉｏｏｏ?１５００?２０００?１〇２〇?湖?隱?隱?蠢??（ｃ）?Ｔｉｍｅｔ?（ｄ）?Ｔｉｍｅｔ??３５??

??而图３．２（ｂ）被划分成了四个区域，由于Ｔｕｒｉｎｇ分支和Ｈｏｐｆ分支出现在区域１中，平衡??点矿变得不稳定。在区域２中，Ｔｍｎｇ失稳引起平衡点纩变成不稳定的，并会出现Ｔｕｒｍｇ??斑图，此区域称为Ｔｕｒｉｎｇ区域。在区域３中，平衡点ｆ是无条件稳定的。在区域４中，??系统（３．３）发生Ｈｏｐｆ分支导致ｆ变得不稳定。??〇１５｜?１?？?１?＇???０．１５｜?＇?■??＇?ｙ???．／?Ｈｏｐｆ?ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ?ｌｉｎｅ?／??０１４６?１?／?０．１２?＼?Ｌ??丨?Ｈｏｐｆ?ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ?ｌｉｎｅ?３?Ｆ?＾?／?＼??Ｉ、?Ｘ?〇?Ｑｇ?４?Ｔｕｒｉｎｇ?ｂｉｆｔｉｒｃａｔｉｏｎ?ｌｉｎｅ．??〇?１３８?ｊ?＼??ｒ?Ｔｕｒｉｎｇ?ｂｉｆｔｉｒｃａｔｉｏｎ?ｌｉｎｅ??１?０．０４?一＾??０．１３４?１??０１３〇?ｏ．ｏｉ?ｏ．〇２?〇．〇３?０．０４?＾０?０．０３?０．０６?．０．０９?０．１２?０．１５??（ａ）?ｈ?（ｂ）?ｈ??图３．２在参数空间ｒ－／ｒ中系统（３．３）的分支图。⑷参数是爲＝１．８，／ｉ?＝?０．６，０．８，■０，＝；！，?￡？：＝?０．０３，??Ａ?二?２，?ｒ?二?０．０１?（ｂ）参数是片一?１．８，?Ａ?—〇．６，二?０．７，?１０，?Ａ?－０．１，￡＞３?二?４，?ｒ?—０．０１。??根据定理３．３，对于存在々＞?０使得４（Ａ％ｒ）?＜?０和存在々＞?０使得／（／：，ｒ）＝??ａ，认，＋?（Ａ，ｒ）?＜?０的情况，如果两种情况中至少有一？种情况成立，就可以找到??Ｔｕｒｉｎｇ失稳的参数Ｋ域。因此
【参考文献】

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本文编号：2886977