连续自然数及其乘积的位数分析

发布时间：2021-01-29 01:06

　　分析了任意一组连续自然数及其乘积中各种数字位数的分布规律,推导出了4条相关定律和计算公式并给予证明,列举了几个计算的实例. 

【文章来源】：喀什大学学报. 2020,41(06)

【文章页数】：4 页

【部分图文】：

=x0，y=y0与双曲族相交示意图

琘=[1，y]（x，y∈Z+），其乘积S={（x，y）|x∈X，y∈Y，x*y}中位数为n的数字的个数为S（n）=k（n）xi=1Σ骔k（n）xiΣ」-k（n-1）xi=1Σ骔k（n-1）xiΣ」，（2.1）且有ni=1ΣS（i）=k（n）xi=1Σ骔k（n）xiΣ」，（2.2）式（2.1）中，S（n）为S中位数为n（n∈N+）的个数，骔x」为对实数x向下取整的值；k（n）为参数，k（n）=10n-1，n为所求的数字位数的编号.证明为了形象理解集合S={x*y}中各种数字位数的分布情况，现引入一组如图1所示的双曲函数族xy=k（n），其中k（n）=10n-1（n，x，y∈N+）.可以看出，S中n位数的个数，实际上可以转化为求不等式xy≤k（n）整数解的问题.对于充分大的x和y，S中的1位数为区间{x＞0，y＞0，xy≤9}内的整数点集合，2位数为9＜xy≤99内整数点集合，…，n位数则分布于10n-1＜xy≤10n+1-1区间内.图2给出了所有1位数的个数，即y≤9/x的整数解的点阵分布；其余位数点阵分布同理.从而得出1位数的个数为：S（1）＝骔9/1」+骔9/2」+骔9/3」+...+骔9/9」=9xi=1Σ骔9xiΣ」；同样，1位数和2位数的总个数为y≤99/x中整数解的集合，即S（1）+S（2）=骔99/1」+骔99/2」+骔99/3」+...+骔98/99」+骔99/99」=9xi=1Σ骔9xiΣ」；图1双曲函数及数字位数区域示意图图2一位数整数点阵示意图所以S（2）=99xi=1Σ骔99xiΣ」-S（1）=99xi=1Σ骔99xiΣ」-9xi=1Σ骔9xiΣ」.（1）设k（n）=10n-1，同理得出：ni=1ΣS（i）=S（n）+S（n-1）+S（n-2）+…+S（1）=10n-1xi=1?

╪）为S中位数为n（n∈N+）的个数，骔x」为对实数x向下取整的值；k（n）为参数，k（n）=10n-1，n为所求的数字位数的编号.证明为了形象理解集合S={x*y}中各种数字位数的分布情况，现引入一组如图1所示的双曲函数族xy=k（n），其中k（n）=10n-1（n，x，y∈N+）.可以看出，S中n位数的个数，实际上可以转化为求不等式xy≤k（n）整数解的问题.对于充分大的x和y，S中的1位数为区间{x＞0，y＞0，xy≤9}内的整数点集合，2位数为9＜xy≤99内整数点集合，…，n位数则分布于10n-1＜xy≤10n+1-1区间内.图2给出了所有1位数的个数，即y≤9/x的整数解的点阵分布；其余位数点阵分布同理.从而得出1位数的个数为：S（1）＝骔9/1」+骔9/2」+骔9/3」+...+骔9/9」=9xi=1Σ骔9xiΣ」；同样，1位数和2位数的总个数为y≤99/x中整数解的集合，即S（1）+S（2）=骔99/1」+骔99/2」+骔99/3」+...+骔98/99」+骔99/99」=9xi=1Σ骔9xiΣ」；图1双曲函数及数字位数区域示意图图2一位数整数点阵示意图所以S（2）=99xi=1Σ骔99xiΣ」-S（1）=99xi=1Σ骔99xiΣ」-9xi=1Σ骔9xiΣ」.（1）设k（n）=10n-1，同理得出：ni=1ΣS（i）=S（n）+S（n-1）+S（n-2）+…+S（1）=10n-1xi=1Σ=骔10n-1xi」=k（n）xi=1Σ骔k（n）xiΣ」，S（n）=10n-1xi=1Σ骔（10n-1）/xi」-10n-1-1xi=1Σ骔（10n-1-1）/xi」=k（n）xi=1Σ骔k（n）xiΣ」-k（n-1）xi=1Σ骔k（n-1）xiΣ」.定律2


本文编号：3006005