一类Zygmund型函数类及其光滑性的研究

发布时间：2017-04-13 01:10

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【摘要】：在Hardy空间有界函数的光滑性理论中,如果函数f(z)在单位圆盘内解析的,那么函数f(z)的导数的平均增长与其边界函数f(eiθ)的光滑性之间有着非常密切的关系.G.H Hardy, J.E Littlewood与A.Zygmund是研究Zygmund型函数类光滑性并得到经典结论的数学家.随后不久,人们又将Zygmund型函数类进行类比推广研究,这为Zygmund型函数类光滑性的研究展开了新的研究层面.近几年,国内外许多数学研究者对不同空间领域上Zygmund型函数类的研究产生了浓厚的兴趣,并且已经获得了许多较为深刻的成果,本文在前人所做的基础上,进一步研究了Zygmund型函数光滑性的问题,使得这类研究更加完善.本文主要是在G.H Hardy和J.E Littlewood定义的Lipschitz函数类与Zygmund定义了类似Lipschitz函数族的函数类这两类函数类的基础上给出Zygmund型函数类的定义,并获得了函数为Zygmund型函数类的充分必要条件.本文共分三章：其中,第一章,我们首先对本文所讨论问题的研究目的和意义进行了介绍,其次简单叙述了Zygmund理论的研究背景和国内外研究现状,最后给出了这篇论文的主要结果.第二章主要介绍G.H Hardy,J.E Littlewood和A.Zygmund分别定义的3种不同的函数类,在3种不同函数类的基础上定义Λ*p函数类,结合3种不同函数类的Lipschitz性质,并利用Lp函数类的单调性,给出当pq时,Λ*p与Λ*q函数类之间以及Λ*p与Λαp函数类之间的包含关系,最后给出一个具体的函数验证其是Λ*类函数而不是Λ1类函数,并结合3种不同函数类的定义给出函数f(z)是Λα函数类的一个充分条件,即函数f(z)在单位圆盘上是解析的,f(eiθ)是连续的,并且第三章是介绍G.H Hardy,J.E Littlewood和A.Zygmund对其分别定义的3种函数类在单位圆周上光滑性的刻画,首先验证在3种不同函数类的基础上定义的Λ*p函数类在单位圆周上的光滑性与其导数变化的缓慢程度有精确关系的充要条件,其次在Λα函数类与Λ*函数类具有自共轭性质的基础上研究Λαp函数类与Λ*p函数类的自共轭性质,得到本文的主要结果：1.f(z)是单位圆|z|1内的解析函数,那么f(z)∈Hp且f(eiθ)∈Λ*p当且仅当Mp(r,f")=O(1/1-r).2.函数f(z)=u(z)+iv(z)在|z|1内是解析的,那么当u(z)∈hp(1p∞)并且u(eiθ)∈ΛP(0α1)时,v(eiθ)∈Λαp.换句话说Λαp函数类是自共轭的.3.函数f(z)=u(z)+iv(z)在|z|1内是解析的,那么当u(z)∈hp(1p∞)并且u(eiθ)∈Λ*p时,v(eiθ)∈Λ*p.换句话说Λ*p函数类是自共轭的.
【关键词】：函数类Λ_α~p Zygmund定理 Hardy-Littlewood定理 二次方差 自共轭
【学位授予单位】：杭州电子科技大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2016
【分类号】：O177
【目录】：

• 摘要5-7
• ABSTRACT7-10
• 1 绪论10-14
• 1.1 ZYGMUND型函数类的研究目的和意义10-11
• 1.2 ZYGMUND型函数类的国内外研究现状和本文的主要结果11-14
• 1.2.1 ZYGMUND型函数类的国内外研究现状11-12
• 1.2.2 本文的主要结果12-14
• 2 单位圆上三类ZYGMUND型函数类及其LIPSCHITZ性质14-21
• 2.1 预备知识14-17
• 2.1.1 基本定义及符号14-17
• 2.1.2 相关引理及定理17
• 2.2 主要结果17-19
• 2.3 本章小结19-21
• 3 单位圆上一类ZYGMUND型函数类的光滑性21-27
• 3.1 预备知识21-22
• 3.1.1 基本定义及符号21
• 3.1.2 相关引理21-22
• 3.2 主要结果22-25
• 3.3 本章小结25-27
• 致谢27-28
• 参考文献28-31
• 附录31

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本文编号：302454