空间分数阶扩散方程的预条件快速数值法及对流扩散方程的一致估计

发布时间：2021-03-16 03:34

　　Fokker-Planck方程（FPE）是描述小颗粒在随机内力作用下,其运动的概率密度函数的偏微分方程。如布朗运动的概率密度函数满足经典的扩散方程[6,28,42]。令a为Fokker-Planck方程的阶,当α=2时,得到的FPE为经典的二阶对流扩散方程（ADE）。但是小颗粒在地表含水层的运动往往与布朗运动存在很大的偏差,一般不能用经典的对流扩散方程来刻画,但是可由分数阶对流扩散方程来描述[25,31,32,43].由于分数阶微积分算子的非局部性,分数阶对流扩散方程的数值方法产生的刚度矩阵为满阵或稠密矩阵。传统的求解方法在每个时间步上需要O（Ⅳ3）的计算量和O（N2）的存储量,Ⅳ为网格点数。如此大的计算量对于求解高维空间分数阶问题是难以承受的。Meerschaert和Tadjeran [29,30]给出了一类分数阶有限差分方法的数值格式。他们用平移的Grunwald-Letnikov有限差分格式逼近分数阶导数,并证明了这类平移的有限差分方法的显格式是无条件稳定的,具有一阶收敛精度。Wang等人[53,54]给出了一类Dirichlet边界条件的分数阶扩散方程的有限差分法的快速算法。通... 

【文章来源】：山东大学山东省 211工程院校 985工程院校 教育部直属院校

【文章页数】：143 页

【学位级别】：博士

【文章目录】：
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英文摘要
第一章 对流扩散方程的模型
第二章 预备知识
    2.1 Krylov subspace算法及其预条件算法
        2.1.1 CGS算法
        2.1.2 预条件的CGS算法
    2.2 Toeplitz矩阵
    2.3 循环矩阵预条件
        2.3.1 Strang's预条件矩阵
        2.3.2 T.Chan's预条件矩阵
第三章 分数阶扩散方程导数边界条件的有限差分方法
    3.1 稳态问题的分数阶方程及其有限差分方法
    3.2 依赖时间的空间分数阶扩散方程
    3.3 刚度矩阵的性质,结构以及存储
    3.4 预条件快速Krylov subspace算法
    3.5 高阶格式
    3.6 数值算例
        3.6.1 稳态问题
        3.6.2 依赖时间的问题
第四章 分数阶扩散分方程局部加密的有限体积预条件快速算法
    4.1 分数阶扩散方程单边问题的有限体积法
        4.1.1 单边问题刚度矩阵的结构、存储算法及其快速算法
        4.1.2 矩阵向量相乘的快速算法
        4.1.3 几何剖分网格与一致网格的比较
    4.2 局部加密网格的有限体积算法
    4.3 刚度矩阵结构
        4.3.1 刚度矩阵表达式
        4.3.2 刚度矩阵结构分析
    4.4 快速Krylov subspace及其存储算法
    4.5 预条件矩阵
    4.6 数值算例
        4.6.1 单边空间分数阶扩散方程
        4.6.2 边分数阶扩散方程数值算例
        4.6.3 矩阵近似的影响
    4.7 一般情况的扩展
第五章 二维分数阶扩散方程的三角剖分有限体积快速算法
    5.1 二维分数阶方程及其有限体积算法
x的结构及其有效存储">    5.2 矩阵A^x的结构及其有效存储
y的结构及存储">    5.3 矩阵A^y的结构及存储
    5.4 矩阵向量乘法Au的快速算法
    5.5 预条件Krylov subspace迭代算法
    5.6 数值算例
第六章 退化的对流扩散方程双线性有限元法的最优误差估计
    6.1 问题模型
    6.2 弱形式
    6.3 Galerkin方法的最优误差估计
    6.4 数值算例
第七章 退化的对流扩散方程有限差分法最优误差估计
    7.1 方程模型及有限差分方法
    7.2 隐式欧拉有限差分法的误差估计
    7.3 Crank-Nicolson有限差分法的最优误差估计
    7.4 辅助引理
参考文献
致谢
攻读博士学位期间完成论文情况
作者简介
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本文编号：3085333