数值微分的正则化方法研究

发布时间：2021-05-19 15:58

　　数值微分问题作为经典的反问题,在科学计算和工程技术等许多领域都有着普遍的应用.但由于其具有不适定性,给问题的求解带来了一定的困难,于是探求稳定的数值方法就显得十分重要.本文基于正则化的思想,研究了数值微分问题的几种求解方法,具体的研究工作如下:（1）具体分析了数值微分问题不适定的原因,并给出了本文需要的相关基础知识.（2）利用有限差分法构造正则化策略给出误差估计,针对离散数据得到了最小二乘正则化方法.用三种数值积分公式及伽辽金方法将积分方程离散成线性系统,结合Tikhonov正则化方法求解了一阶、二阶数值微分问题.（3）将Huber函数、Log-cosh函数作为全变差正则化方法中的正则化项,采用向前差分方法对其进行离散,并给出算法步骤求解了数值微分问题,数值结果表明此算法具有高效性、稳定性.（4）通过求解微分算子的奇异系统,采用截断奇异值正则化方法及混合正则化方法求解了数值微分,并给出数值算例,对结果作了分析比较.（5）将高斯核作为光滑核函数,采用磨光化方法,结合Gauss-Legendre型数值积分求出正则化解,给出了误差估计表达式.并对磨光化方法加以改进,针对区间端点处的正则化解利... 

【文章来源】：西安理工大学陕西省

【文章页数】：76 页

【学位级别】：硕士

【文章目录】：
摘要
abstract
1 绪论
    1.1 研究背景与意义
    1.2 国内外研究进展
    1.3 本文主要工作
2 预备知识
    2.1 数值微分问题及其不适定性
    2.2 基本定义与定理
    2.3 积分方程的离散
        2.3.1 复化中矩形公式离散
        2.3.2 复化梯形公式离散
        2.3.3 复化辛普森公式离散
        2.3.4 伽辽金离散
    2.4 本章小结
3 正则化方法
    3.1 正则化的一般理论
    3.2 有限差分正则化
    3.3 最小二乘正则化
    3.4 数值微分的Tikhonov正则化
        3.4.1 误差估计
        3.4.2 一阶数值微分算例
    3.5 数值微分的离散正则化
        3.5.1 正则化参数的选取
        3.5.2 一阶数值微分算例
        3.5.3 二阶数值微分算例
    3.6 本章小结
4 全变差正则化方法
    4.1 全变差正则化
        4.1.1 问题的离散
        4.1.2 算法步骤
    4.2 基于Huber函数的全变差正则化
    4.3 基于Log-cosh函数的全变差正则化
    4.4 数值算例
        4.4.1 一阶数值微分算例
        4.4.2 二阶数值微分算例
    4.5 本章小结
5 截断奇异值正则化方法
    5.1 一阶数值微分的奇异系统推导
    5.2 二阶数值微分的奇异系统推导
    5.3 数值算例
        5.3.1 一阶数值微分算例
        5.3.2 二阶数值微分算例
    5.4 混合正则化方法
        5.4.1 一阶数值微分算例
        5.4.2 二阶数值微分算例
    5.5 本章小结
6 磨光化方法
    6.1 磨光化方法的构造
    6.2 误差估计
    6.3 数值算例
        6.3.1 数值算例1
        6.3.2 数值算例2
        6.3.3 数值算例3
    6.4 本章小结
7 总结与展望
致谢
参考文献
攻读学位期间主要研究成果


【参考文献】：
期刊论文
[1]高阶全变差正则化彩色图像去马赛克[J]. 刘铭丽,王希云.  太原科技大学学报. 2019(06)
[2]基于时间分数阶扩散方程源项反演的一阶与二阶数值微分方法（英文）[J]. 陈树立,阮周生,王泽文,张文.  高等学校计算数学学报. 2019(03)
[3]不连续介质反演的原对偶牛顿法和全变差正则化（英文）[J]. 冯立新,李媛,张磊.  黑龙江大学自然科学学报. 2018(01)
[4]基于数值微分的阻尼灵敏度方法比较[J]. 潘秋萍,汪震,甘德强,谢欢,李尚远.  浙江大学学报(工学版). 2018(01)
[5]求解数值微分问题的广义Hermite谱和拟谱方法[J]. 冯立新,郭超.  黑龙江大学自然科学学报. 2017(04)
[6]求解数值微分问题的磨光化方法及应用[J]. 冯立新,郭超.  黑龙江大学自然科学学报. 2017(01)
[7]一种反演抛物型方程未知系数的全变差正则化方法[J]. 李照兴,张雷,胡志东.  宁夏大学学报(自然科学版). 2017(03)
[8]一阶数值微分的局部正则化方法[J]. 徐会林.  数学杂志. 2015(06)
[9]一种基于截断奇异值分解正则化的电离层层析成像算法[J]. 欧明,甄卫民,於晓,徐继生,邓忠新.  电波科学学报. 2014(02)
[10]一阶和二阶数值微分的Lanczos方法[J]. 王泽文,温荣生.  高等学校计算数学学报. 2012(02)

博士论文
[1]三类不适定问题的正则化方法研究[D]. 杨帆.兰州大学 2014

硕士论文
[1]热传导方程正问题和反问题的数值解研究[D]. 臧顺全.西安理工大学 2019
[2]全变差优化算法及其应用[D]. 陈胜南.西安理工大学 2019
[3]非线性不适定问题的数值解法研究[D]. 仝云莉.西安理工大学 2017
[4]二维连续随机变量概率密度估计[D]. 李丛.武汉理工大学 2016
[5]二维热方程Cauchy问题的半离散化差分正则化方法[D]. 李金梅.西北师范大学 2016
[6]TSVD方法在数值微分及图像恢复问题中的应用[D]. 周俊.武汉理工大学 2008
[7]数值微分的小波方法[D]. 马云云.吉林大学 2008
[8]卫星轨道运动方程数值算法研究[D]. 付兆萍.华中科技大学 2006



本文编号：3196041