分数阶变分问题的最优性条件、Noether定理与分数阶微分方程的精确解

发布时间：2021-06-11 16:29

　　分数阶微积分在多个领域有着重要应用,是当今热点问题。研究发现地震强度预测系统和微观粒子运动系统等系统用分数阶对数函数模型来表示,比整数阶模型更有效;多变量分数阶控制器和多变量分数阶干扰观测器比整数阶情形精度更高,抗干扰性更强。本文主要研究了单变量分数阶对数函数泛函和多变量分数阶泛函变分问题的最优性条件和Noether定理。同时为了得到最优性条件和Noether定理对应的分数阶微分方程的精确解,本文研究了不变子空间法和改进的子方程法,并得到了一些经典分数阶微分方程的精确解。具体内容如下。1.对于含整数阶导数和Caputo分数阶导数的对数函数Lagrange泛函,利用分数阶变分原理,得到了Hamilton原理和Euler-Lagrange方程。研究了分数阶对数函数Lagrange泛函的Noether对称性,给出了泛函的变分基本公式,并利用无穷小群变换得到了该泛函的Noether对称性和Noether拟对称性的判定定理。得到了该泛函的Noether定理和Noether逆定理,建立了Noether对称与守恒量之间的内在关系。2.建立了含Riemann-Liouville分数阶偏导数、Riema... 

【文章来源】：武汉科技大学湖北省

【文章页数】：113 页

【学位级别】：博士

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摘要
Abstract
第1章 绪论
    1.1 研究背景
    1.2 国内外研究现状
    1.3 本文的主要工作
        1.3.1 单变量分数阶变分问题
        1.3.2 多变量分数阶变分问题
        1.3.3 分数阶微分方程的不变子空间法
        1.3.4 分数阶微分方程的子方程法
        1.3.5 本文的结构
第2章 单变量分数阶变分问题:最优性条件及Noether定理
    2.1 预备知识
    2.2 最优性条件和Noether定理
        2.2.1 Hamilton原理和Euler-Lagrange方程
        2.2.2 Noether对称性
        2.2.3 Noether定理
        2.2.4 Noether逆定理
    2.3 算例
    2.4 结论
第3章 多变量分数阶变分问题:最优性条件及Noether定理
    3.1 预备知识
    3.2 最优性条件和Noether定理
        3.2.1 Ostrogradsky方程
        3.2.2 Legendre条件
        3.2.3 具有完整约束的分数阶变分问题
        3.2.4 分数阶等周问题
        3.2.5 Noether定理
    3.3 算例
    3.4 结论
第4章 分数阶微分方程的不变子空间法
    4.1 预备知识
    4.2 不变子空间法
    4.3 不变子空间法的应用
        4.3.1 时间-空间分数阶扩散方程
        4.3.2 时间-空间分数阶微分方程的初值问题
        4.3.3 带有吸收项的时间-空间分数阶波动方程的初值问题
        4.3.4 广义带有吸收项的时间-空间分数阶波动方程
        4.3.5 时间-空间分数阶色散方程
        4.3.6 时间-空间分数阶热方程
        4.3.7 广义时间-空间双曲热传导方程
        4.3.8 Fokker-Planck方程
    4.4 结论
第5章 分数阶微分方程的子方程法
    5.1 预备知识
    5.2 改进的子方程法简介
    5.3 改进的子方程法的应用
        5.3.1 广义时间分数阶生物种群模型
        5.3.2 广义时间分数阶复合Kd V-Burgers方程
        5.3.3 时间-空间分数阶正则长波方程
        5.3.4 广义(3+1)维时间-空间分数阶Zakharov-Kuznetsov方程
    5.4 结论
第6章 结论与展望
    6.1 内容总结
    6.2 创新点
    6.3 展望
致谢
参考文献
附录1 攻读博士学位期间取得的科研成果
附录2 攻读博士学位期间参加的科研项目



本文编号：3224886