大维四元数随机矩阵的谱分析及其应用

发布时间：2021-07-10 11:01

　　随机矩阵理论是目前的一个热门学科,其应用十分广泛,特别是在量子物理学和高维统计分析学中。作为随机矩阵理论经典的模型之一,四元数自共轭随机矩阵在量子物理学中具有其独特的意义。同时,从代数意义上来说,研究四元数这一超复数对于解决克利福德代数上的问题是关键的步骤。因为根据Frobenius定理,实数域R,复数域C和四元数体Q是仅有的三个有限维的满足其中的每个非零元都有逆的实代数。再结合Artin-Wedderburn定理,可以知道每个有限维的半单代数都可以写成具有实数,复数,四元数元素的矩阵代数的直和。特别的,对于克利福德代数（几何代数）,我们也有上述结论。因此,如果我们证明了某些性质对于实数,复数,四元数矩阵成立,那么这些性质对于所有以克利福德代数上的元素组成的矩阵都成立。这个重要的结论使得对于某些实数域,复数域上的矩阵满足的性质在四元数矩阵上的推广很重要。更重要的是,近年来四元数本身的应用也日益广泛,其自身的优势使其可以更好地解决如信号处理,彩色图像处理等领域的实际问题。本篇论文主要研究大维四元数随机矩阵的谱的性质。我们的结论是随机矩阵的"普适性"结论,也就是说不同于GSE,我们没有假定... 

【文章来源】：东北师范大学吉林省 211工程院校 教育部直属院校

【文章页数】：106 页

【学位级别】：博士

【文章目录】：
中文摘要
英文摘要
1 绪论
    1.1 随机矩阵理论
        1.1.1 随机矩阵理论和量子物理学
        1.1.2 随机矩阵理论和高维统计学
    1.2 四元数和四元数随机矩阵
    1.3 研究四元数随机矩阵的重要意义
    1.4 本文主要研究方法和重要的引理
        1.4.1 Stieltjes变换
        1.4.2 某些必要的引理
    1.5 自共轭四元数矩阵的特征根
    1.6 本文的主要内容及结构
2 四元数随机矩阵的半圆律
    2.1 一个关键的引理
    2.2 某些说明
    2.3 截断,中心化和尺度变换
    2.4 定理2.1的证明
        2.4.1 s_n(z)-Es_n(z)→0, a.s..的证明
        2.4.2 Es_n(z)→s(z)的证明
        2.4.3 完成定理2.1的证明
3 四元数样本协方差矩阵
    3.1 定理3.1的证明
        3.1.1 s_n(z)-Es_n(z)→0,a.s.的证明
        3.1.2 Es_n(z)→s(z)的证明
        3.1.3 证明(3.0.1)在C~+的解是唯一的
    3.2 一些常用的模型
        3.2.1 一般的四元数因子模型中的样本协方差矩阵
        3.2.2 四元数线性过程的样本协方差矩阵
4 四元数自共轭随机矩阵极值特征根的收敛
    4.1 定理4.1充分性的证明
        4.1.1 一些图论中的知识
        4.1.2 矩阵元素的某些处理
        4.1.3 完成定理4.1的证明
    4.2 定理4.1中条件的必要性的证明
        4.2.1 条件(ⅰ)的必要性
        4.2.2 条件(ⅳ)的必要性
        4.2.3 条件(ⅱ)的必要性
        4.2.4 条件(ⅲ)的必要性
5 四元数自共轭随机矩阵经验谱分布的收敛速度
    5.1 主要的引理和一些记号
        5.1.1 一些重要的引理:第一部分
        5.1.2 一些重要的引理:第二部分
    5.2 定理5.1的证明
参考文献
后记
在学期间公开发表论文及著作情况



本文编号：3275793