参数反演的贝叶斯方法及其应用研究
发布时间：2021-07-31 10:00
近年来,反问题的理论及应用研究涉及越来越多的领域。在理论研究方面,有越来越多研究者用不同的方法去克服反问题的不适定性。鉴于统计方法可以量化反问题解的不确定性,统计反问题得到了更多人的关注。此外,反问题方法在石油勘探,水文地质学与环境科学,信号与图像处理等领域的应用越来越广泛,尤其在图像去噪与恢复研究方面,统计方法研究具有重要意义。本文主要研究时间分数阶扩散方程中参数反演的贝叶斯方法及其在图像重建方面的应用。第一章,分析课题的研究意义,并简要阐述了国内外研究现状和发展趋势,然后简单介绍反问题与贝叶斯方法之间的联系,最后给出本文的主要工作。第二章,主要介绍贝叶斯方法的基本概念和理论知识,以及贝叶斯理论在图像处理方面的应用,为后续章节研究做准备。第三章,主要应用贝叶斯方法研究一维分数阶扩散方程的参数反演问题。首先基于正问题求解的差分格式,分别研究了扩散系数的单参数反演以及微分阶数和扩散系数的联合反演问题。以区域右端观测值作为附加数据,基于贝叶斯理论建立反演模型对未知参数进行求解,讨论了似然方差对反演结果的影响和附加数据维数对反演结果的影响,同时分析了反演的时效问题。对于一维变时间分数阶扩散方...
【文章来源】：山东理工大学山东省
【文章页数】：72 页
【学位级别】：硕士
【部分图文】：
扩散系数为常数时的迭代曲线图和后验概率直方图
山东理工大学硕士学位论文22(a)迭代曲线图(b)后验概率直方图(a)Iterationcurve(b)Posteriorprobabilityhistogram图3.2扩散系数为多项式时的迭代曲线图和后验概率直方图Fig.3.3Iterationcurveandposteriorprobabilityhistogramwhendiffusioncoefficientispolynomial从图3.2-(a)可以看出，三个参数的马尔科夫链都在真值左右波动。从图3.2-(b)看出，参数反演值分别出现在真值附近的概率最大。此外，采用后5000次的反演数据统计计算待估参数的中位数和均值，统计结果列于表3.2。从表3.2看出，三个参数的中位数和均值反演值均收敛于参数真值，反演的最大误差不超过4.2976%。表3.2扩散系数为多项式时后验统计量的相对误差表Tab3.2Relativeerrorsofposteriorstatisticswhendiffusioncoefficientispolynomial算例3：扩散系数为分段函数的情形本算例取扩散系数真值为分段函数的形式，即]1,6.0(1]6.0,3.0(5.1]3.0,0[2)(xxxxD。这里真解、初值函数、微分阶数与算例1相同，源项可以推断出为一个分段函数，即迭代次数参数真值后验均值均值误差(%)后验中位数中位数误差(%)10000二次项系数11.0071990.71991.0075280.7528一次项系数0.50.5181003.62000.5214884.2976常数项10.9936850.63150.9972190.2781
山东理工大学硕士学位论文23]1,6.0())cos()2()cos(]6.0,3.0())cos(1.5)2()cos(]3.0,0[))cos(2)2()cos(),(111xxtxtxxtxtxxtxttxf。这里将xD)(这个多项式每个函数值都作为反演参数，进行联合反演。代入参数真值由正演算子得到附加数据Y，取建议分布)(iDDq为均匀分布，即DDDDUDDq),()(iii，且为了更好的实验效果设D为先验区域的10%，似然函数的标准差为0.1。图3.3-(a)、图3.3-(b)分别绘制了反演值的迭代曲线与其后验概率直方图。(a)迭代曲线图(b)后验概率直方图(a)Iterationcurve(b)Posteriorprobabilityhistogram图3.3扩散系数为分段函数时的迭代曲线图和后验概率直方图Fig.3.3Iterationcurveandposteriorprobabilityhistogramwhendiffusioncoefficientispiecewisefunction从图3.3-(a)可以看出，马尔科夫链在迭代大约5000次后达到了收敛状态，每个反演参数都可以收敛到真值左右。从图3.3-(b)看出，参数反演值分别出现在真值的概率最大。此外，采用后5000次的反演数据统计计算待估参数的中位数和均值，统计结果列于表3.3。从表3.3看出，三个参数的中位数和均值反演值均收敛于参数真值，反演的最大误差不超过4.9204%。表3.3扩散系数为分段函数时后验统计量的相对误差表Tab3.3Relativeerrorsofposteriorstatisticswhendiffusioncoefficientispiecewisefunction迭代次数参数真值后验均值均值误差(%)后验中位数中位数误差(%)
【参考文献】：
期刊论文
[1]基于贝叶斯分层模型的MCMC方法在闪光图像重建中的应用[J]. 王忠淼,刘军,景越峰,刘进,管永红. 强激光与粒子束. 2018(11)
[2]分数阶扩散方程中多参数联合数值反演[J]. 池光胜,李功胜. 复旦学报(自然科学版). 2017(06)
本文编号：3313253
【文章来源】：山东理工大学山东省
【文章页数】：72 页
【学位级别】：硕士
【部分图文】：
扩散系数为常数时的迭代曲线图和后验概率直方图
山东理工大学硕士学位论文22(a)迭代曲线图(b)后验概率直方图(a)Iterationcurve(b)Posteriorprobabilityhistogram图3.2扩散系数为多项式时的迭代曲线图和后验概率直方图Fig.3.3Iterationcurveandposteriorprobabilityhistogramwhendiffusioncoefficientispolynomial从图3.2-(a)可以看出，三个参数的马尔科夫链都在真值左右波动。从图3.2-(b)看出，参数反演值分别出现在真值附近的概率最大。此外，采用后5000次的反演数据统计计算待估参数的中位数和均值，统计结果列于表3.2。从表3.2看出，三个参数的中位数和均值反演值均收敛于参数真值，反演的最大误差不超过4.2976%。表3.2扩散系数为多项式时后验统计量的相对误差表Tab3.2Relativeerrorsofposteriorstatisticswhendiffusioncoefficientispolynomial算例3：扩散系数为分段函数的情形本算例取扩散系数真值为分段函数的形式，即]1,6.0(1]6.0,3.0(5.1]3.0,0[2)(xxxxD。这里真解、初值函数、微分阶数与算例1相同，源项可以推断出为一个分段函数，即迭代次数参数真值后验均值均值误差(%)后验中位数中位数误差(%)10000二次项系数11.0071990.71991.0075280.7528一次项系数0.50.5181003.62000.5214884.2976常数项10.9936850.63150.9972190.2781
山东理工大学硕士学位论文23]1,6.0())cos()2()cos(]6.0,3.0())cos(1.5)2()cos(]3.0,0[))cos(2)2()cos(),(111xxtxtxxtxtxxtxttxf。这里将xD)(这个多项式每个函数值都作为反演参数，进行联合反演。代入参数真值由正演算子得到附加数据Y，取建议分布)(iDDq为均匀分布，即DDDDUDDq),()(iii，且为了更好的实验效果设D为先验区域的10%，似然函数的标准差为0.1。图3.3-(a)、图3.3-(b)分别绘制了反演值的迭代曲线与其后验概率直方图。(a)迭代曲线图(b)后验概率直方图(a)Iterationcurve(b)Posteriorprobabilityhistogram图3.3扩散系数为分段函数时的迭代曲线图和后验概率直方图Fig.3.3Iterationcurveandposteriorprobabilityhistogramwhendiffusioncoefficientispiecewisefunction从图3.3-(a)可以看出，马尔科夫链在迭代大约5000次后达到了收敛状态，每个反演参数都可以收敛到真值左右。从图3.3-(b)看出，参数反演值分别出现在真值的概率最大。此外，采用后5000次的反演数据统计计算待估参数的中位数和均值，统计结果列于表3.3。从表3.3看出，三个参数的中位数和均值反演值均收敛于参数真值，反演的最大误差不超过4.9204%。表3.3扩散系数为分段函数时后验统计量的相对误差表Tab3.3Relativeerrorsofposteriorstatisticswhendiffusioncoefficientispiecewisefunction迭代次数参数真值后验均值均值误差(%)后验中位数中位数误差(%)
【参考文献】：
期刊论文
[1]基于贝叶斯分层模型的MCMC方法在闪光图像重建中的应用[J]. 王忠淼,刘军,景越峰,刘进,管永红. 强激光与粒子束. 2018(11)
[2]分数阶扩散方程中多参数联合数值反演[J]. 池光胜,李功胜. 复旦学报(自然科学版). 2017(06)
本文编号：3313253
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