改进的Boussinesq方程的精确行波解及其波形随波速的演化

发布时间：2021-09-15 10:06

　　利用首次积分法,得到了改进的Boussinesq方程的所有有界精确行波解。根据平面动力系统理论,分析得到这些解中只有一个解是钟状孤波解,其他都是周期波解。进一步探讨方程的行波解波形随波速的演化关系。 

【文章来源】：台州学院学报. 2020,42(03)

【文章页数】：7 页

【部分图文】：

当v2→V-时的u6（ξ）

第42卷台州学院学报示当p>0时的方程（1）的解随参数q的演化过程。当|q|<1时，周期波解u6(ξ)当q=1时，钟状孤波解u3(ξ)图2解随Hamilton能量q演化的图形2.2解随波速v的演化进一步的，我们发现了这些解（式（17））随行波速v变化的相关特性。以q>0为例。根据p3和q2之间的关系和式（6）中p的表达形式，我们得到如下关系式(1-9q23)v4-2v2+1+2ac=0。（18）如果1-9q23≠0，1-()1-9q23(1+2ac)≥0条件满足，则记V±1±1-()1-9q23(1+2ac)1-9q23；（19）如果1-9q23=0,1+2ac≥0条件满足，则记V012+ac。（20）根据情况1～情况4的参数条件，我们分析得到如下结论：1）当q=127,1+2ac≥0时，若v2<V0，方程（1）的解为u6(ξ)和u7(ξ)；若v2=V0，方程（1）的解为u3(ξ)和u4(ξ)；而若v2>V0，方程（1）的解为u5(ξ)。2）当q>127,1+2ac≥0时，若v2<V-，方程（1）的解为u6(ξ)和u7(ξ)；若v2=V-，方程（1）的解为u3(ξ)和u4(ξ)；而若v2>V-，方程（1）的解为u5(ξ)。3）当q<127时，在满足0<1+2ac≤11-9q23的条件下，若v2<V-或v2>V+，方程（1）的解为u6(ξ)和u7(ξ)；若v2=V±，方程（1）的解为u3(

第42卷台州学院学报做变量替换，令u(ξ)=-3v2aU(ξ)+v2-1a，（5）可将方程（4）转化为U""=32(U2-p)，（6）其中p=(v2-1)2+2ac9v4。将方程（6）化成等价的平面动力系统ìíX"=YY"=32(X2-p)。（7）根据平面动力系统理论，我们得到系统（7）相图，如图1所示，当p>0时当p=0时当p<0时图1系统（7）的相图系统（7）是一个保守的Hamilton系统，其Hamiltonian能量为H(X),Y=12Y2-12X3+32pX=q。（8）利用首次积分法，我们可以得到±(ξ)-ξ0=∫dXf(X)，（9）其中f(X)=X3-3pX+2q。通过分类讨论，可以得到了系统（7）相应的四类行波解：情况1：当p=q=0时，f(X)=X3。根据（9）式，有X1(ξ)=4(ξ-ξ0)2。（10）情况2：当p3=q2≠0时，f(X)=(X)-λ2(X+2λ)（其中λ=±p)。可得如下结果：当λ=-p时，X>2p，有X2(ξ)=p()3tan2()324p(ξ-ξ0)+2；（11）当λ=p时，-2p<X<p，有X3(ξ)=p()3tanh2()324p(ξ-ξ0)-2；（12）2


本文编号：3395885