多面体的Rupert性质研究

发布时间：2021-11-13 05:47

　　在空间R³中,凸体P是指R³中内部非空的紧凸集.称凸体P具有Rupert性质,是指在P上可挖一个足够大的洞,使另一个与P全等的凸体从洞中穿过.设P为Rd中的有限点集,称P的凸包为凸多面体.若一个凸多面体P的所有顶点都位于两个平行平面内,则称P为拟柱体.现有研究已证明全部柏拉图多面体,13种阿基米德多面体中的截角立方体,截半立方体,截角八面体,小斜方截半立方体,截半二十面体,大斜方截半立方体,截角二十面体,截角十二面体,截半立方体等9类具有Rupert性质.论文第一章研究了锥体的Rupert性质,证明了所有的棱锥以及底面为圆的锥体均具有Rupert性质.第二章研究了柱体的Rupert性质,证明了所有的正棱柱具有Rupert性质,并将结论扩展至所有的直棱柱.在此基础上给出了拟柱体具有Rupert性质的几个充分条件.本文尝试通过研究锥体,拟柱体,层层加点进而研究任意凸多面体的Rupert性质,从而对“在R³中,所有的凸多面体均具有Rupert性质”的猜想给出探究思路. 

【文章来源】：河北师范大学河北省

【文章页数】：41 页

【学位级别】：硕士

【部分图文】：

立方体

为底面多边形的直径.设1为中过点1,且正交于1的直线,为中过点,且正交于1的直线,平面上由直线1,界定的闭带状区域为1.指标集={2,···,},={+1,+2,···,1}.则由1到有两段折线机1,∈;→1,∈.直线1将平面划分成两个半开平面,记+为包含,∈的半平面,为包含,∈的半平面,+∩=1.图1.2:棱锥不失一般性不妨设(0)∈,则棱锥的直径有两种可能:(i).1既是底面多边形的直径也是棱锥直径;(ii).若1不为棱锥直径,则棱锥直径只能为0,∈,或10.针对直径为10,通过研究可知,对于大多数类型的棱锥,直径0,∈或10处理方法处理效果是相同的,仅当(0)∈1时需要另行分析.所以,针对后一种情况,不妨设棱锥直径为0,∈.同时不失一般性的,进一步设直径为20.设超平面为过3中某三个不同点的超平面,为过且正交于面的超平面,则自然有所在直线将面,分成四个开半平面+,,+,,(+∩∩+∩=),记点所在开半平面为+,同时规定将大拇指沿指向,满足右手螺旋定则的方向为逆时针,记为正,反之为顺时针,记为负.则由+开始沿逆时针依次分布+,+,,.用++表示由半平面+和+界定的不包含边界+和+的14开空间,同理+,+,.图1.2举例为分别取=0,=2,=的情况.设(3,)表示将3绕轴逆时针旋转所得3的像;同理(3,)表示将3绕轴顺时针旋转所得3的像.为了便于后文的引用,下述结论以引理的形式给出,取=0,=2,=.4

图1.3:空间分割示意图引理1.1对于离散点集={0,1,···,}中的点(假设02为棱锥直径),过做02垂线,且交02于点,因为02为棱锥直径,所以∈relint02,记‖‖=.记与面所成夹角记为,则0≤≤2.将离散点集绕02逆时针旋转,其中<min{2},仅针对∈∪的点.如图1.4.图1.4:引理1则有如下结论:(i).∈+∪++,旋转之前,‖()‖=‖‖cos;旋转之后,‖((,))‖=‖‖cos(+)<‖()‖,((,))∈relint(()).(ii).∈+∪+旋转之前,‖()‖=‖‖cos;5


本文编号：3492443