三维Helmholtz方程的优化紧致差分法

发布时间：2021-11-13 09:41

　　Helmholtz方程常用来描述波传播和散射问题,在声学、光学、电磁学以及地震学等科学技术领域有着广泛应用.因此,研究其高性能数值解法具有重要的理论意义和应用价值.对于高波数问题,数值求解Helmholtz方程时,计算精度会随着波数的增加而降低.同时,波数增大时,必须充分加细离散区间才能获得较好的数值解.此时Helmholtz方程离散得到的是一个不定且高度病态的大规模线性系统.直接法由于内存需求难以求解大规模的线性系统.因此,本文针对三维Helmholtz方程主要解决以下两个问题:1构造高精度差分格式;2建立高效求解算法.全文共分为五章.第一章为绪论,简要介绍Helmholtz方程的物理背景,回顾目前已有的数值求解方法,并简述本文的主要构造思想及结构框架.第二章提出三维Helmholtz方程的优化紧致差分法.首先,建立常波数情况下Helmholtz方程的紧致差分格式.同时,给出该格式的收敛性分析,证明其为四阶格式.其次,给出数值波数与真实波数之间的误差分析.基于极小化数值频散的思想,提出了差分格式优化系数的加细选取策略.最后,建立变波数Helmholtz方程的优化紧致差分格式.第三章为... 

【文章来源】：山东师范大学山东省

【文章页数】：57 页

【学位级别】：硕士

【部分图文】：

二十七点差分格式的模板.

山东师范大学硕士学位论文(a)(b)图4.5:算例1(a)=1,=3,=4;(b)=5,=0,=8时的C模误差.的Helmholtz方程(4.1.1).函数依赖于变量,,具体形式如下:(,,)=(3)(1+2),if(,,)∈Γ1:=(0,1)×(0,1)×(0,0),(+3)(1+2+3),if(,,)∈Γ2:=(0,1)×(0,1)×(1,1),(2)(11+3),if(,,)∈Γ3:=(0,1)×(0,0)×(0,1),(+2)(1+2+3),if(,,)∈Γ4:=(0,1)×(1,1)×(0,1),(1)(2+3),if(,,)∈Γ5:=(0,0)×(0,1)×(0,1),(+1)(1+2+3),if(,,)∈Γ6:=(1,1)×(0,1)×(0,1),其中1,2,3与算例1的定义一致.表4.6和表4.7展示了对于不同节点数下=15,=3,=4和=20,=0,=8两种差分格式的误差.容易看出,optim.compact27p相对于theG.Sscheme来说,数值精度有很大改进.进一步,图4.6说明这两种差分格式均为四阶格式,与前面的理论分析一致.为进一步比较这两种格式,表4.8给出了=0.5,=3,=8时的误差,其中波数由5增加到25.可以看出,当单位波长内节点数G固定时,随着波数增大,optim.compact27p的误差增加的比theG.Sscheme缓慢的多.特别是对于大波数38

山东师范大学硕士学位论文(a)(b)图4.6:算例2(a)=15,=3,=4;(b)=20,=0,=8时的C模误差.假设为正数.上述问题的解析解为(,,):=sin()sin()sin()2,(,,)∈[0,1]×[0,1]×[0,1].对于源函数:=22sin()sin()sin(),利用文献[27]中对的表达形式,对,做同样处理.因此,我们用下式代替差分方程(2.1.21)的右端项.,,+(),,→(12212),,+13(+12,,+12,,+,+12,+,12,++,,+12+,,12).在本算例中,我们用上述技巧处理源函数.表4.9和表4.10给出了两种差分格式在不同节点数下=和=2时的误差情况.可以看到,optim.compact27p的数值精度比theG.Sscheme高得多.从表4.10中还可看出,optim.compact27p在=56时便可达到theG.Sscheme在=112时的数值精度.这说明,当采用optim.compact27p时,可用较少的网格点数达到较高的数值精度.同时,图4.7表明这两种差分格式均为四阶格式,与理论分析结果一致.因此,在计算中,optim.compact27p有着显著的优势.40

【参考文献】：
期刊论文
[1]弱严格对角占优矩阵非奇异的判定条件[J]. 张成毅,李耀堂.  工程数学学报. 2006(03)



本文编号：3492795