求解两类随机延迟微分方程的数值方法

发布时间：2017-05-07 07:03

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【摘要】：近年来，随机延迟微分方程理论得到了广泛的研究，此类方程在建模的时候，考虑了滞后因素和外界环境造成的影响，因此大量运用于物理学、生物学和医学等多个领域。但是在实际建模的时候通常要引入非线性随机延迟微分方程，很难计算出其解的显式表达式，所以构造合适的数值方法来模拟其解的行为，并研究数值解的性质就显得尤为重要。 在构造随机延迟微分方程数值方法的时候，我们通常要考虑数值方法的收敛性和稳定性，本文就是以此为视角，研究了两类随机延迟微分方程的数值方法的收敛性和稳定性。 本文首先应用分步向后Euler方法数值求解随机常延迟微分方程，，在研究该数值方法几乎确定指数稳定性的时候，我们构造了一个鞅，利用半鞅收敛定理得出数值解的有界性，在步长充分小的时候，利用延迟项的有界性证明了数值方法的几乎确定指数稳定性。其次在构造随机比例微分方程数值方法的时候，其难点在于对比例项的处理，为了更精确的近似比例项，我们采用线性插值的方法。利用我们的想法构造了带有线性插值的分步向后Euler方法来求解此类方程，并在方程的右端项满足Lipschitz条件和线性增长条件下，证明了带有线性插值的分步向后Euler方法所得的数值解均方收敛于原方程的真解，其均方收敛阶为0.5.对于该数值方法的均方稳定性，我们以一个线性常系数随机比例微分方程为模型，利用Lyapunov稳定性分析方法详细讨论了该数值方法的均方稳定性和一般均方渐近稳定性。对于每一种数值方法，我们都利用数值算例来验证我们所得到的理论结果。
【关键词】：随机延迟微分方程 随机比例微分方程 分步向后Euler方法 收敛性 稳定性
【学位授予单位】：哈尔滨工业大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2012
【分类号】：O241.8
【目录】：

• 摘要4-5
• Abstract5-7
• 第1章 绪论7-13
• 1.1 课题背景及研究的目的和意义7-9
• 1.2 研究现状9-12
• 1.3 本文主要研究内容及安排12-13
• 第2章 随机延迟微分方程的分步向后EULER方法13-21
• 2.1 预备知识13-14
• 2.2 分步向后EULER 方法的几乎确定指数稳定性14-19
• 2.3 数值算例19-20
• 2.4 本章小结20-21
• 第3章 随机比例微分方程的带有线性插值分步向后EULER方法21-38
• 3.1 预备知识21
• 3.2 带有线性插值分步向后EULER 方法的收敛性21-28
• 3.3 带有线性插值分步向后EULER 方法的均方稳定性28-34
• 3.4 数值算例34-37
• 3.5 本章小结37-38
• 结论38-39
• 参考文献39-45
• 致谢45

【共引文献】

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本文编号：349373