解PDE约束优化问题的交替方向迭代法
发布时间：2022-01-17 15:08
带偏微分方程（PDE）约束优化问题的数值求解是应用数学领域中重要而具有挑战性的问题之一,其在现代工业、医学、经济学等应用领域都具有很重要的应用.对传统的带L2-控制成本的PDE约束优化问题,理论和数值解法都取得了丰富的研究成果.而对于带L1-控制成本的PDE约束优化问题,研究成果还不多.与有限维l1-正则化一样,L1-控制成本具有诱导稀疏的特性,因此该类问题在控制装置的布放问题以及材料和机械装置的拓扑优化等领域有重要应用.鉴于有限维稀疏优化在交替方向类算法上和应用上的成功,我们尝试研究了带L1-控制成本的PDE约束优化问题的交替方向类算法,并取得如下研究成果:1.带L1-控制成本的稀疏最优控制问题的FE-ihADMM算法.若用常规的分片线性有限元对连续问题进行离散,不同于有限维的l1-范数,离散的L1-范数不具有可分结构,甚至不能通过引进人工变量转化成具有可分结构的问题,因此不适合用有限维交替方向乘子法（ADMM）求解.我们提出了一种具有可分结构的有限元离散格式,尽管该离散格式会带来额外的离散误差,但我们给出的误差估计表明该离散格式仍具有与常规离散格式一样的误差阶O（h）.进一步,我们...
【文章来源】：大连理工大学辽宁省 211工程院校 985工程院校 教育部直属院校
【文章页数】：217 页
【学位级别】：博士
【部分图文】：
图２．３例２．２：最优控制叫在／７?＝?２＿７的三维图和平面图．（ａ）三维图．（ｂ）平面图．深红色和深蓝色区??域对应ｗ／ｚ?＝?±３０，绿色区域对应ｗ；ｚ?＝?０??
带控制约束的最优控制问题的精确解是未知的．作为精确解的代替，我们采用网格大小??为／ｆ?＝?２＿１（）上的数值解作为一个参考解．??图３．１给出了网格大小为Ａ?＝?２＿６时离散最优控制叫的三维图．表３．１给出了在Ｌ２模意??义下控制《的离散误差的数值结果．数值结果证实了定理３．］给出的理论误差结果？??表３．１中给出了ｉｈＡＤＭＭ、经典ＡＤＭＭ算法和ＬＡＤＭＭ算法求解例３．１的计算精度、??迭代步数和ＣＰＵ时间的数值结果．实验结果表明ｉｈＡＤＭＭ算法在计算时间上要明显优??于经典ＡＤＭＭ算法和ＬＡＤＭＭ算法，尤其是当网格大小Ａ非常小时．进一步，随着网格??大小ｈ的加细，考虑ｉｈＡＤＭＭ算法和ＬＡＤＭＭ算法的迭代步数，可以看出ｉｈＡＤＭＭ算法??和ＬＡＤＭＭ算法具有网格独立性．相反，经典ＡＤＭＭ算法却不具有网格独立性．此外，??为了得到更高精度的解，我们采用了两阶段策略．在表３．２中我们给出了相应的数值结??果．作为对比，表３．２中我们同样给出了带Ａｒｍｉｊｏ线搜索的全局化ＰＤＡＳ算法的数值结??果．从数值结果可以看出，两阶段的算法在ＣＰＵ计算时间以及迭代步数上要表现地比??带Ａｒｍｉｊｏ线搜索的全局化ＰＤＡＳ算更有优势．这些数值结果都说明了我们的ｉｈＡＤＭＭ算??法在求解例３．１到中等精度的解的高效性．??
根据（４．１４），很容易看到这样的一个事实：当｜／？丨＜／？时意味着ｈ?＝?０，这也就解释了Ｌ１－??范数为什么可以诱导控制ｗ的稀疏性质？此外，由于（４．１４）同时也暗不??了ｗｅ妒㈦）．这样根据非光滑方程（４．１４），我们在图４．１中展示了ｗ和ｐ的关系．??ｗ个??ｂ——ＪＴ??ａａ－?ｆ３?／?ｊ???￣?ｊ?￣?＾?Ｐ?ａｂ?＋?ｐ?Ｐ???ｉ?ａ??图４．１控制变量Ｗ和伴随状态变量／７的关系??Ｆｉｇ．?４．１?Ｔｈｅ?ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ?ｂｅｔｗｅｅｎ?ｕ?ａｎｄ?ｐ??因此，从图４．１我们可以看出，当ｆ充分大时，最优控制《将恒等于０，即％?＝?０．具体??地，我们有如下引理．??引理４．２若正则参＿３满足条件ｙＳ?２灼：＝－?Ａ－％，．）丨Ｌ，）时，那么问题（Ｐ）的唯一??最优解为（＞￥，￥）?＝?（Ａ＿１Ｓｙ，．，?０）．??－９９－??
【参考文献】：
期刊论文
[1]SUPERCONVERGENCE ANALYSIS OF FINITE ELEMENT METHODS FOR OPTIMAL CONTROL PROBLEMS OF THE STATIONARY B（?）NARD TYPE[J]. Yanzhen Chang School of Mathematics and System Science,Shandong University,Jinan 250100,China Danping Yang Department of Mathematics,East China Normal University,Shanghai 200062,China. Journal of Computational Mathematics. 2008(05)
本文编号：3594950
【文章来源】：大连理工大学辽宁省 211工程院校 985工程院校 教育部直属院校
【文章页数】：217 页
【学位级别】：博士
【部分图文】：
图２．３例２．２：最优控制叫在／７?＝?２＿７的三维图和平面图．（ａ）三维图．（ｂ）平面图．深红色和深蓝色区??域对应ｗ／ｚ?＝?±３０，绿色区域对应ｗ；ｚ?＝?０??
带控制约束的最优控制问题的精确解是未知的．作为精确解的代替，我们采用网格大小??为／ｆ?＝?２＿１（）上的数值解作为一个参考解．??图３．１给出了网格大小为Ａ?＝?２＿６时离散最优控制叫的三维图．表３．１给出了在Ｌ２模意??义下控制《的离散误差的数值结果．数值结果证实了定理３．］给出的理论误差结果？??表３．１中给出了ｉｈＡＤＭＭ、经典ＡＤＭＭ算法和ＬＡＤＭＭ算法求解例３．１的计算精度、??迭代步数和ＣＰＵ时间的数值结果．实验结果表明ｉｈＡＤＭＭ算法在计算时间上要明显优??于经典ＡＤＭＭ算法和ＬＡＤＭＭ算法，尤其是当网格大小Ａ非常小时．进一步，随着网格??大小ｈ的加细，考虑ｉｈＡＤＭＭ算法和ＬＡＤＭＭ算法的迭代步数，可以看出ｉｈＡＤＭＭ算法??和ＬＡＤＭＭ算法具有网格独立性．相反，经典ＡＤＭＭ算法却不具有网格独立性．此外，??为了得到更高精度的解，我们采用了两阶段策略．在表３．２中我们给出了相应的数值结??果．作为对比，表３．２中我们同样给出了带Ａｒｍｉｊｏ线搜索的全局化ＰＤＡＳ算法的数值结??果．从数值结果可以看出，两阶段的算法在ＣＰＵ计算时间以及迭代步数上要表现地比??带Ａｒｍｉｊｏ线搜索的全局化ＰＤＡＳ算更有优势．这些数值结果都说明了我们的ｉｈＡＤＭＭ算??法在求解例３．１到中等精度的解的高效性．??
根据（４．１４），很容易看到这样的一个事实：当｜／？丨＜／？时意味着ｈ?＝?０，这也就解释了Ｌ１－??范数为什么可以诱导控制ｗ的稀疏性质？此外，由于（４．１４）同时也暗不??了ｗｅ妒㈦）．这样根据非光滑方程（４．１４），我们在图４．１中展示了ｗ和ｐ的关系．??ｗ个??ｂ——ＪＴ??ａａ－?ｆ３?／?ｊ???￣?ｊ?￣?＾?Ｐ?ａｂ?＋?ｐ?Ｐ???ｉ?ａ??图４．１控制变量Ｗ和伴随状态变量／７的关系??Ｆｉｇ．?４．１?Ｔｈｅ?ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ?ｂｅｔｗｅｅｎ?ｕ?ａｎｄ?ｐ??因此，从图４．１我们可以看出，当ｆ充分大时，最优控制《将恒等于０，即％?＝?０．具体??地，我们有如下引理．??引理４．２若正则参＿３满足条件ｙＳ?２灼：＝－?Ａ－％，．）丨Ｌ，）时，那么问题（Ｐ）的唯一??最优解为（＞￥，￥）?＝?（Ａ＿１Ｓｙ，．，?０）．??－９９－??
【参考文献】：
期刊论文
[1]SUPERCONVERGENCE ANALYSIS OF FINITE ELEMENT METHODS FOR OPTIMAL CONTROL PROBLEMS OF THE STATIONARY B（?）NARD TYPE[J]. Yanzhen Chang School of Mathematics and System Science,Shandong University,Jinan 250100,China Danping Yang Department of Mathematics,East China Normal University,Shanghai 200062,China. Journal of Computational Mathematics. 2008(05)
本文编号：3594950
本文链接：https://www.wllwen.com/kejilunwen/yysx/3594950.html
