几类特殊图的着色
发布时间：2022-02-13 20:55
在19世纪的英国,奥古斯都.德.摩根（Augustus De Morgan）的学生弗雷德里克.格思里的哥哥弗朗西斯.格思里（Francis guthrie）在对英国地图进行染色时发现,如果共同边界的区域染不同的颜色,只需4种颜色就可以染完整个地图,由此诞生了著名的四色猜想,染色理论研究也由此开始.图染色理论作为一个重要的图论研究方向,一直被学者和专家所研究.其中,特殊图类在图论研究中用来做反例,充当达到条件的极图,因此,研究特殊图的着色具有重要的理论意义和实际应用价值.本文主要研究了几类特殊图（广义皮特森图,广义谢尔宾斯基图,点分裂图）的性质并得到了具体染色数.第一章首先介绍了图论中染色理论和特殊图的发展历程,并简单叙述了Grundy着色和多彩着色的研究现状.然后,对广义皮特森图,广义谢尔宾斯基和点分裂图的构造与意义做了简要的总结.第二章通过研究广义皮特森图的Grundy着色,得到了广义皮特森图的一些性质,由于当n≠2l且l≠1时,广义皮特森图P（n,l）是3正则图,因此我们根据它的结构给出了具体的染色方案,并得到Grundy染色数.第三章研究了几类特殊图的多彩染色,首先通过研究度不超...
【文章来源】：天津师范大学天津市
【文章页数】：47 页
【学位级别】：硕士
【部分图文】：
图１：皮特森图??－
１???３??ＩＸＩ??２?Ｉ?２??＼?／??２???１１２???３??ＩＸ＞－＇－＜ＸＩ??３?１?２???１??图１：?Ｇｒｕｎｄｙ?３着色??当Ｇ?ｆ?＝?￡?＋?ｓ?ｇ?２￡且＾；为偶数时染色函数如下：对于下标ｎ－ｓ?＋?１?ｇ?ｉ幺ｎ的顶点不能染??颜色１，２，故ｐ（ｉ；ｎ＿ｓ＋ｉ）＝…＝（ｐ（ｒｎ）?＝?３是合适的染色，对于下标ｎ?－?＜ｓ?＋?ｌＳｉｇｎ的顶点不能??染颜色２，故ｐ（？＿ｓ＋１）二…＝＝?１也是合适的染色．??下面给出顶点％的染色函数：下标ｎ?－?￡?＋?的染色函数如下：??＾）?＝?（２ｉｆ?〇－＾（ｎ－＊）（ｍ〇ｄ２），?（２．２３）??ｌ３ｉｆ?１?三?ｉ?—?（ｎ＿?ｔ）（ｍｏｄ?２）．??下标ｍ?＋１＊?－?．ｔ?＋１?ｇ?ｉ?２顶，载的染色画数．??＿）?＝?ｆ２ｉｆ?ｆ?ｆ?＋?￡）（ｍ°ｄ２）’?（２．２４）??ｌｌｉｆ?１?三?ｉ?—?（ｎ?—尤?＋?彳）（ｍｏｄ?２）．??由于顶点％ｉ－ｌ与、－２，?＾ｎ－ｌ和相连，由上述的染色方式知道，Ｗ（Ｕｎ－２）?＝?２，?＝?１，?＃（ｉ；ｎ＿ｉ）＝??３故，故选ｐ（Ｕｎ－ｉ）?＝?４是合理的．??当￡?ｇ?ｔ?ｇ?２￡并且ｔ为奇数时类似可证．??当ｎ之处并且￡为偶数时，类似于上述染色过程，综上所述，证明完毕．??２．３相关猜想??在文献［１２］中３?Ｇａｓｔｉｎｅａｕ等人得到下面的两个重要的结论：??⑴如果Ｇ是；一个没有导．出Ｃ＊４的ｃｕｂｉｃ?ｇｒａｐｈ，那么ｒ［Ｇ］?＝４．??：（２）若ｒ?ｆ?４，每一＾没有导出．Ｇｉ的？＇？．正：贝丨Ｊ圈．，它的Ｇｍｎｄｙ色数为ｒ?＋?１．??基于ｉ述的结论，
是这样一棵树，它ｒ只有３■点和１＿点，设办）＝３，其中ｒ邻接三个顶点％如图３所示．为了??证明这个定理，我们只需要给出算法将Ｔ２嵌入到乎面中，??Ｚ??／＜ＣＴ＼７＼??４?ｕｌ?４Ｖ＼?Ｖ２＼?４?Ｗｉ?＾２?？??图３：树图??现在，我们用下面的方法将丁２的边嵌入平面．首先３我们考虑Ｔ中的边咖ｅ?ｒ，?ｗ将??平面可分为两部分，上半部分平面和下半部分平面如，３可按顺时针方向绕根２嵌入上半平??面可按顺时针方向绕根Ｗ依次嵌入下半平面．结构如图４所示．??显然，任意两条边％印ｅ五（Ｔ），那么呀ｅ?洇此在上半平面我们得到一个新的Ｈ??魚形《脚，如国４所本？二角形０：饥ｔ和ｚ：龍！分别用ａｗ－ｆａｃｅ．、ｆａｃｅ表不？这样我们就完成了２??的孩子节点的嵌入??身、、＇??图４：嵌入．图示??我们在Ｖ（Ｔ）中逐个实现Ｖ?ｅ?ＫＴ）的嵌入．这里ｒｆ（ｖ）?＝?１或ｒｆ（ｖ）?＝?３．??如果＋）二１，则我们完成嵌入过程？当？，）＝?３时，将继续以下过程：??不失一般性，，假设在瓦⑵中有购＾：购Ｅ五⑵，我们可以将事袢的边嵌入到ｚ％?－?ｆａｅｅ＿＃：同样??的，对于《结构如图５所示．??＾Ｚｌ＞，?ＺＵ?Ｅ?＿Ｅ（Ｔ）嵌入时，洲１，洲２（篇１，篇２）可以依次嵌入到＾?－纟ｅｒｔ／ａｃｅＱｕ?－?ｆａｃｅ）中按顺??时针方向绕根顶点＋）旋转．??在新的平面中，同样，任意两条边Ｇ?Ｅ（ｒ），?Ｍ?Ｇ?Ｅ（Ｔ２），因此我们得到两个新的三??角形吵２《和＃１＾２：结构如图５所不．??考虑顶点边册和洲２，＾２２，＾产生两个二角形，分别用＾１?－?ｆａｃｅ和瑪－?ｆａｃｅ表??示．??假设我们已经嵌入了（ｎ－２）－层顶点％ｎ＿２）．
【参考文献】：
期刊论文
[1]Sierpiński图与Sierpińskigasket图的条件着色[J]. 宋兴坤,梁晓东. 新疆大学学报(自然科学版). 2015(03)
[2]关于图的Grundy着色[J]. 徐保根. 华东交通大学学报. 2010(01)
硕士论文
[1]图的条件染色和非正常条件染色[D]. 刘婷.山东师范大学 2013
本文编号：3623905
【文章来源】：天津师范大学天津市
【文章页数】：47 页
【学位级别】：硕士
【部分图文】：
图１：皮特森图??－
１???３??ＩＸＩ??２?Ｉ?２??＼?／??２???１１２???３??ＩＸ＞－＇－＜ＸＩ??３?１?２???１??图１：?Ｇｒｕｎｄｙ?３着色??当Ｇ?ｆ?＝?￡?＋?ｓ?ｇ?２￡且＾；为偶数时染色函数如下：对于下标ｎ－ｓ?＋?１?ｇ?ｉ幺ｎ的顶点不能染??颜色１，２，故ｐ（ｉ；ｎ＿ｓ＋ｉ）＝…＝（ｐ（ｒｎ）?＝?３是合适的染色，对于下标ｎ?－?＜ｓ?＋?ｌＳｉｇｎ的顶点不能??染颜色２，故ｐ（？＿ｓ＋１）二…＝＝?１也是合适的染色．??下面给出顶点％的染色函数：下标ｎ?－?￡?＋?的染色函数如下：??＾）?＝?（２ｉｆ?〇－＾（ｎ－＊）（ｍ〇ｄ２），?（２．２３）??ｌ３ｉｆ?１?三?ｉ?—?（ｎ＿?ｔ）（ｍｏｄ?２）．??下标ｍ?＋１＊?－?．ｔ?＋１?ｇ?ｉ?２顶，载的染色画数．??＿）?＝?ｆ２ｉｆ?ｆ?ｆ?＋?￡）（ｍ°ｄ２）’?（２．２４）??ｌｌｉｆ?１?三?ｉ?—?（ｎ?—尤?＋?彳）（ｍｏｄ?２）．??由于顶点％ｉ－ｌ与、－２，?＾ｎ－ｌ和相连，由上述的染色方式知道，Ｗ（Ｕｎ－２）?＝?２，?＝?１，?＃（ｉ；ｎ＿ｉ）＝??３故，故选ｐ（Ｕｎ－ｉ）?＝?４是合理的．??当￡?ｇ?ｔ?ｇ?２￡并且ｔ为奇数时类似可证．??当ｎ之处并且￡为偶数时，类似于上述染色过程，综上所述，证明完毕．??２．３相关猜想??在文献［１２］中３?Ｇａｓｔｉｎｅａｕ等人得到下面的两个重要的结论：??⑴如果Ｇ是；一个没有导．出Ｃ＊４的ｃｕｂｉｃ?ｇｒａｐｈ，那么ｒ［Ｇ］?＝４．??：（２）若ｒ?ｆ?４，每一＾没有导出．Ｇｉ的？＇？．正：贝丨Ｊ圈．，它的Ｇｍｎｄｙ色数为ｒ?＋?１．??基于ｉ述的结论，
是这样一棵树，它ｒ只有３■点和１＿点，设办）＝３，其中ｒ邻接三个顶点％如图３所示．为了??证明这个定理，我们只需要给出算法将Ｔ２嵌入到乎面中，??Ｚ??／＜ＣＴ＼７＼??４?ｕｌ?４Ｖ＼?Ｖ２＼?４?Ｗｉ?＾２?？??图３：树图??现在，我们用下面的方法将丁２的边嵌入平面．首先３我们考虑Ｔ中的边咖ｅ?ｒ，?ｗ将??平面可分为两部分，上半部分平面和下半部分平面如，３可按顺时针方向绕根２嵌入上半平??面可按顺时针方向绕根Ｗ依次嵌入下半平面．结构如图４所示．??显然，任意两条边％印ｅ五（Ｔ），那么呀ｅ?洇此在上半平面我们得到一个新的Ｈ??魚形《脚，如国４所本？二角形０：饥ｔ和ｚ：龍！分别用ａｗ－ｆａｃｅ．、ｆａｃｅ表不？这样我们就完成了２??的孩子节点的嵌入??身、、＇??图４：嵌入．图示??我们在Ｖ（Ｔ）中逐个实现Ｖ?ｅ?ＫＴ）的嵌入．这里ｒｆ（ｖ）?＝?１或ｒｆ（ｖ）?＝?３．??如果＋）二１，则我们完成嵌入过程？当？，）＝?３时，将继续以下过程：??不失一般性，，假设在瓦⑵中有购＾：购Ｅ五⑵，我们可以将事袢的边嵌入到ｚ％?－?ｆａｅｅ＿＃：同样??的，对于《结构如图５所示．??＾Ｚｌ＞，?ＺＵ?Ｅ?＿Ｅ（Ｔ）嵌入时，洲１，洲２（篇１，篇２）可以依次嵌入到＾?－纟ｅｒｔ／ａｃｅＱｕ?－?ｆａｃｅ）中按顺??时针方向绕根顶点＋）旋转．??在新的平面中，同样，任意两条边Ｇ?Ｅ（ｒ），?Ｍ?Ｇ?Ｅ（Ｔ２），因此我们得到两个新的三??角形吵２《和＃１＾２：结构如图５所不．??考虑顶点边册和洲２，＾２２，＾产生两个二角形，分别用＾１?－?ｆａｃｅ和瑪－?ｆａｃｅ表??示．??假设我们已经嵌入了（ｎ－２）－层顶点％ｎ＿２）．
【参考文献】：
期刊论文
[1]Sierpiński图与Sierpińskigasket图的条件着色[J]. 宋兴坤,梁晓东. 新疆大学学报(自然科学版). 2015(03)
[2]关于图的Grundy着色[J]. 徐保根. 华东交通大学学报. 2010(01)
硕士论文
[1]图的条件染色和非正常条件染色[D]. 刘婷.山东师范大学 2013
本文编号：3623905
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