研究非Lipschitz随机微分方程停止Euler-Maruyama方法的强收敛

发布时间：2022-10-23 20:28

　　近年来,许多学者开始研究随机微分方程数值解的收敛性,最经典的是研究带有全局Lipschitz系数随机微分方程Euler-Maruyama（EM）方法的收敛性.这里我们用研究带有非Lipschitz系数随机微分方程停止EM方法的强收敛,停止EM方法就是把停时作用到EM方法上,当逼近值首次不大于0时停止,这将会在第一章中介绍.除此之外,从停止EM方法的定义可以看出逼近值全部都是非负的,而这一点对于应用于实际生产生活有重大的意义.为了更好地说明随机微分方程数值方法强收敛的证明过程,在第二章会详细介绍相关的基础知识,比如布朗运动和鞅的定义和性质,Ito公式的各种形式,随机微分方程解的存在唯一性的发展史,数值逼近方法,Markov性质和不等式.研究随机微分方程解的收敛性首先得保证解的存在唯一性,这方面也有很多学者在研究.存在唯一性的条件从全局Lipschitz条件减弱到局部Lipschitz条件,最后可以是非Lipschitz条件.第一个变弱通过定义停时来保证,第二个变弱用修改EM方法得到,比如:截断EM方法,θ-EM方法,semi-tamed EM 方法等等.第三章主要目的是证明带有非Lips... 

【文章页数】：50 页

【学位级别】：硕士

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摘要
ABSTRACT
第一章 引言
    1.1 研究背景
第二章 相关基本知识
    2.1 预备知识
        2.1.1 布朗运动的定义和性质
        2.1.2 鞅
        2.1.3 It? 公式
        2.1.4 Markov过程
    2.2 随机微分方程
        2.2.1 解的存在唯一性
        2.2.2 解的矩性质
        2.2.3 解的EM逼近方法
        2.2.4 解的Markov性质
    2.3 常用不等式
        2.3.1 概率不等式
        2.3.2 随机不等式
第三章 SDE停止EM方法的强收敛
    3.1 主要结果
    3.2 主要结果的证明
        3.2.1 非负解的存在唯一性证明
        3.2.2 证明主要定理需要的引理
        3.2.3 定理3.1.1的证明
        3.2.4 定理3.1.2的证明
    3.3 数值模拟
参考文献
致谢
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【参考文献】：
期刊论文
[1]Rate of Convergence of Euler’s Approximations for SDEs with Non-Lipschitz Coefficients[J]. Ji Cheng LIU.  Acta Mathematica Sinica. 2013(08)



本文编号：3697069