低秩矩阵近似理论与应用

发布时间：2017-05-17 08:09

  本文关键词：低秩矩阵近似理论与应用，由笔耕文化传播整理发布。

【摘要】：低秩矩阵近似,是机器学习、数值优化、理论计算机科学等领域的重要研究方向。它既有严格的理论基础,在实际问题中,也有着广泛的应用。低秩矩阵近似的本质是利用高维空间中的低维结构,寻找一个合适的低秩矩阵来近似原来的复杂矩阵,使得低秩矩阵既能够较好地保持原来复杂矩阵的诸多性质,又能够有效地减少冗余信息和噪声,从而降低存储空间和计算量。近年来,使用非凸松弛的方法来求解低秩矩阵近似问题受到越来越多的关注。一些理论分析和实验验证表明,相比于凸松弛方法,非凸松弛可以对实际问题有着更好的近似,能够更好地刻画实际问题的本质属性。然而,非凸优化问题具有很高的复杂性,设计快速高效的优化算法去求解非凸优化问题是一项巨大的挑战。本文使用更加简单、直观、灵活的非凸加权核范数作为低秩惩罚项,并提出一种解决低秩矩阵近似问题的统一的、非凸的框架。同时,本文提出一种叫做迭代收缩阈值与权值再分配算法(ISTRA),来求解上述非凸的低秩矩阵近似问题。在理论方面,本文证明了在一定假设下,ISTRA算法能够有效地收敛到目标函数的局部最优解,即稳定点,并有次线性的收敛速度。在合成数据和实际图像数据上的矩阵补全实验表明,本文提出的迭代收缩阈值与权值再分配算法(ISTRA)能够有效地恢复低秩矩阵,在精确度和速度上,都能超过当前最好的低秩矩阵恢复算法。
【关键词】：低秩矩阵近似 非凸松弛 非凸优化 矩阵补全 加权核范数 迭代收缩阈值与权值再分配算法
【学位授予单位】：中国科学技术大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2016
【分类号】：O151.21;TP18
【目录】：

• 摘要5-6
• ABSTRACT6-9
• 主要符号对照表9-10
• 第一章 绪论10-16
• 1.1 引言10
• 1.2 研究背景与意义10-11
• 1.3 国内外研究现状11-12
• 1.4 本文主要工作与贡献12-13
• 1.5 本文组织结构13-16
• 第二章 低秩矩阵近似相关工作概述16-26
• 2.1 低秩矩阵近似的理论研究16-22
• 2.1.1 低秩矩阵近似的问题定义16-17
• 2.1.2 低秩矩阵近似的凸松弛方法17-19
• 2.1.3 低秩矩阵近似与稀疏优化的联系19-20
• 2.1.4 低秩矩阵近似的非凸松弛方法20-22
• 2.1.5 基于矩阵分解的方法22
• 2.2 低秩矩阵近似的应用22-25
• 2.2.1 推荐系统22-23
• 2.2.2 鲁棒主成分分析23-25
• 2.2.3 其它应用25
• 2.3 本章小结25-26
• 第三章 低秩矩阵近似问题的优化算法26-32
• 3.1 凸优化方法26-28
• 3.1.1 半定规划方法26
• 3.1.2 Proximal梯度法26-28
• 3.2 非凸优化方法28-31
• 3.2.1 交替优化方法29
• 3.2.2 交替方向乘子法29-31
• 3.3 本章小结31-32
• 第四章 迭代收缩阂值与权值再分配算法ISTRA32-52
• 4.1 问题定义32-33
• 4.2 基本方法33-39
• 4.2.1 构造Proximal问题33-35
• 4.2.2 权值再分配策略35-37
• 4.2.3 迭代收缩阈值与权值再分配算法ISTRA37-39
• 4.3 收敛性分析39-43
• 4.3.1 步长有界39-40
• 4.3.2 收敛结果40-42
• 4.3.3 收敛速度42
• 4.3.4 与Majorization Minimization方法的联系42-43
• 4.4 实验分析43-50
• 4.4.1 合成数据实验44-46
• 4.4.2 实际图像数据实验46-50
• 4.5 本章小结50-52
• 第五章 结论与展望52-54
• 5.1 工作内容总结52-53
• 5.2 下一步工作展望53-54
• 参考文献54-58
• 致谢58-60
• 在读期间发表的学术论文与取得的研究成果60

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