竞赛数学中的差分算子问题研究

发布时间：2023-02-06 12:49

　　世界各国数学竞赛发展至今已逐渐趋于成熟,数学竞赛试题更是浩如烟海,而这些数学竞赛试题在一定程度上代表的是一种特殊的数学——竞赛数学,其内容大致稳定在代数、平面几何、数论、组合等四个方面.差分算子是算子理论中的一种较为具体化、初等化的线性算子,它在代数学、分析学、组合数学以及特殊函数等方面有着重要的应用.同时,在各类数学竞赛的命题和解题中时有涉及高等数学中的差分算子,而有限差分方法也是解数学竞赛题的一种重要方法.本文旨在通过将高等数学中的差分算子“下放”到初等数学中,尤其是应用到竞赛数学试题的命制和解题之中.本文的研究工作主要包括以下几个方面:1.通过引入差分算子的定义、有关的定理与性质,系统阐述差分算子方法在数学竞赛中的数列、概率、多项式、组合恒等式及组合序列中的应用;2.对两道经典的数学竞赛试题的命题背景做了较为深入的分析,介绍了三种常见的数学竞赛试题的命题方法,并依此尝试编拟了一些数学竞赛试题,提供了相应的算子方法;3.以案例研究的形式对一道代数几何题、若干组合恒等式、两道与数论有关的奥林匹克试题进行推广,得到了一些新的结论,从而为数学竞赛的命题与解题工作提供一定的参考,对于促进竞...

【文章页数】：123 页

【学位级别】：硕士

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中文摘要
Abstract
1 引言
    1.1 研究背景与现状
    1.2 研究目的与意义
    1.3 预备知识
        1.3.1 相关的记号
        1.3.2 相关的定义、定理
2 高阶等差数列的通项与求和
    2.1 高阶等差数列的定义与通项
    2.2 高阶等差数列的前n项和
3 利用差分算子求概率问题
    3.1 利用差分算子求分布列、期望与方差
    3.2 利用差分算子求r阶原点矩
4 利用差分算子解多项式问题
    4.1 差分算子公式的应用
    4.2 差分多项式的性质及应用
    4.3 Lagrange插值与差分插值的几点注记
        4.3.1 Lagrange插值多项式及其几何内涵
        4.3.2 Lagrange插值与差分插值的比较分析
5 利用差分算子推演组合恒等式
    5.1 运用零的差分推演组合恒等式
    5.2 利用差分公式推演组合恒等式
    5.3 借助组合变换推演组合恒等式
    5.4 有关Abel恒等式及其衍生恒等式
6 利用差分算子证明组合序列的性质
    6.1 Stirling数的性质及算子证明
    6.2 Bell数及其算子恒等式
7 数学竞赛试题的分析与编拟
    7.1 数学竞赛试题的背景分析
        7.1.1 一道全国高中数学联赛试题的背景分析
        7.1.2 一道罗马尼亚国家队选拔考试题的背景分析
    7.2 数学竞赛试题的命制与编拟
        7.2.1 直接移用算子定义命制新赛题
        7.2.2 演绎深化命题条件编拟新赛题
        7.2.3 引申拓展已知结论生成新赛题
8 数学竞赛试题的推广
    8.1 案例1代数几何题的推广
    8.2 案例2组合恒等式的推广
        8.2.1 一道中国国家队选拔考试题的推广
        8.2.2 对本文第五章中组合恒等式的推广
        8.2.3 利用组合变换进一步推导恒等式
    8.3 案例3与数论有关的竞赛试题的推广
        8.3.1 一道罗马尼亚国家队选拔考试题的推广
        8.3.2 一道中国数学奥林匹克题的推广
9 总结与展望
参考文献
攻读硕士学位期间完成的学术论文及获奖情况
致谢



本文编号：3736030