偏微分方程的蒙特卡罗解法

发布时间：2023-04-08 17:16

　　在现代科学、技术、工程中存在大量偏微分方程问题,偏微分方程的解析解很难得到,大量学者转而研究偏微分方程的数值解。蒙特卡罗方法的稳定性和收敛速度与维度无关,是研究偏微分方程数值解的一个好工具。本文主要就偏微分方程的蒙特卡罗解法和多水平蒙特卡罗解法,作如下研究:第一章是前言。介绍了偏微分方程蒙特卡罗解法和多水平蒙特卡罗解法的研究背景以及国内外研究现状,简述本文所做工作。第二章介绍了蒙特卡罗方法的理论知识。蒙特卡罗方法解决问题可以分四步完成,通过误差分析可知蒙特卡罗方法的收敛速度最大为O(n^-1/2),简单归纳蒙特卡罗方法的优缺点,为了减小蒙特卡罗方法的方差,介绍了对偶随机变量技巧。第三章运用蒙特卡罗方法求解泊松方程和热传导方程。建立随机游动概率模型,证明定理,给出算法流程。通过构建随机游动概率模型的四个步骤求解泊松方程和热传导方程的数值解(?)。数值实验说明:对不同的空间步长δ,泊松方程和热传导方程的数值解(?)均收敛。在此基础上,结合对偶随机变量技巧求解泊松方程和热传导方程的数值解(?),数值实验说明:对偶随机变量技巧可以降低蒙特卡罗方法的方差。第四章介绍了多水平蒙...

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【学位级别】：硕士

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摘要
Abstract
第1章 前言
    1.1 研究背景
    1.2 国内外研究现状
        1.2.1 偏微分方程蒙特卡罗解法的研究现状
        1.2.2 偏微分方程多水平蒙特卡罗解法的研究现状
    1.3 本文所做工作
第2章 蒙特卡罗方法的基本知识
    2.1 蒙特卡罗方法的基本步骤
    2.2 蒙特卡罗方法的误差分析
    2.3 蒙特卡罗方法的优缺点
    2.4 蒙特卡罗方法的改进
        2.4.1 对偶随机变量技巧
        2.4.2 对偶随机变量的方差分析
第3章 两类偏微分方程的蒙特卡罗解法
    3.1 泊松方程的蒙特卡罗解法
        3.1.1 泊松方程蒙特卡罗解法的随机游动概率模型
        3.1.2 泊松方程蒙特卡罗解法的理论证明
        3.1.3 泊松方程蒙特卡罗解法的算法流程
        3.1.4 泊松方程蒙特卡罗解法的数值实验
    3.2 热传导方程的蒙特卡罗解法
        3.2.1 热传导方程蒙特卡罗解法的理论介绍
        3.2.2 热传导方程蒙特卡罗解法的数值实验
    3.3 本章小结
第4章 多水平蒙特卡罗方法的基本知识
    4.1 多水平蒙特卡罗方法的介绍
    4.2 多水平蒙特卡罗方法的理论证明
    4.3 多水平蒙特卡罗方法的算法流程
第5章 热传导方程的多水平蒙特卡罗解法
    5.1 热传导方程的多水平蒙特卡罗解法
    5.2 热传导方程的数值实验
    5.3 本章小结
第6章 总结与展望
    6.1 论文总结
    6.2 研究展望
参考文献
致谢
在学期间的科研情况



本文编号：3786161