两类变阶数微分方程解的渐近展开与数值算法研究

发布时间：2023-05-07 06:32

　　变阶数微分方程是分数阶微分方程研究的延伸与拓展,其基本特征是导数的阶数会随着时间或空间的变化而发生改变.近十年来,变阶数微分方程模型在许多领域均有成功的运用,但是其数学理论的研究较为缺乏,特别是对于这类方程解性质的刻画一直是一个非常困难的问题.本文通过对两类变阶数物理模型进行研究,旨在得到这两类方程的解在初始时刻的Puiseux级数展开式,以刻画变阶数微分方程的解在初始时刻的奇异性质.基于该级数展开式设计一种向后差商算法,得到这两类模型具有较高精度的近似解.全文共分为四章.第一章介绍变阶数微分方程的发展历程,对变阶数微分方程数值算法的研究现状进行简单的总结,并给出本文的研究目的及主要内容.第二章给出本文所需要的预备知识,包括几种常见的变阶数分数阶积分与微分的定义及其相关性质,函数在奇点的Puiseux级数的定义以及一些特殊函数在奇点处的Puiseux级数展开式.另外,介绍Gamma函数的相关知识,包括Gamma函数及其倒数的高阶导数的计算公式以及Gamma函数及其倒数在一点处的级数展开式.最后给出Caputo变阶数导数的向后差商离散格式.第三章研究一类广义的时变粘弹性材料的本构模型.首...

【文章页数】：55 页

【学位级别】：硕士

【文章目录】：
摘要
Abstract
第1章 绪论
    1.1 分数阶微分方程与变阶数微分方程的发展概况
    1.2 变阶数微分方程数值算法的研究进展
    1.3 本文的主要工作与研究目标
    1.4 论文安排
第2章 预备知识
    2.1 变阶数分数阶微分方程的定义与性质
    2.2 函数的Puiseux级数展开式
    2.3 Γ函数的n阶导数及其渐近展开式
    2.4 变阶数微分算子的数值离散
第3章 一类变阶数粘弹性材料微分方程的渐近展开与数值算法
    3.1 方程的提出
    3.2 方程在初始时刻的Puiseux级数展开式
    3.3 源项在初始点代数且对数奇异的情形
    3.4 向后差商离散算法
    3.5 混合向后差分格式
第4章 一类变阶数松弛方程的渐近展开与数值算法
    4.1 方程的提出
    4.2 方程在初始时刻的Puiseux级数展开式
    4.3 向后差商离散算法
    4.4 混合向后差分格式
结论与展望
参考文献
致谢
攻读学位期间发表的学术论文



本文编号：3810470