非平坦空间中奇异子流形的几何

发布时间：2023-06-02 21:45

　　众所周知,双曲空间作为闵可夫斯基空间中的伪球,具有负常截面曲率.而球空间作为欧氏空间的子空间,具有正常截面曲率,它们都是非平坦的黎曼空间.本文从奇点理论的角度对这两类空间中的特殊奇异子流形的拓扑及微分几何性质进行研究.在3维双曲空间中,研究一类特殊的光滑曲线(称为标架曲线),利用活动标架,定义了与标架曲线相关联的渐屈线和焦曲面,然后从奇点理论的角度讨论了渐屈线与焦曲面的关系,所用到的工具是距离平方函数族及分歧理论.作为结论,距离平方函数族的分歧集是焦曲面,而分歧集的奇异集恰好是渐屈线.在3维球空间中,主要探讨了两类特殊的奇异曲面的几何性质,这两类奇异曲面的奇异集都是非退化曲线,分别称为尖棱和燕尾.首先,定义了沿非退化曲线的3维球空间中的可展曲面,并分别称其为沿尖棱(或沿着燕尾)的外蕴非平坦大圆曲面.对于此类平坦曲面奇点的分类,我们引入了新的不变量.最后,利用奇点的判别方法对这两类特殊外蕴平坦曲面的奇点进行了分类,从而很好地揭示了奇点与这些不变量之间的关系.

【文章页数】：38 页

【学位级别】：硕士

【文章目录】：
中文摘要
英文摘要
1 引言
    S1.1 背景介绍
    S1.2 3维双曲空间的基本概念与性质
    S1.3 3维球空间的基本概念与性质
    S1.4 奇点的判别条件
2 3维双曲空间中标架曲线的渐屈线
    S2.1 渐屈线与焦曲面的定义
    S2.2 渐屈线与焦曲面的关系
    S2.3 双曲距离平方函数
3 3维球空间中沿着非退化曲线的外蕴平坦曲面
    S3.1 沿着尖棱的外蕴平坦曲面
    S3.2 沿着尖棱的外蕴平坦曲面的奇点
    S3.3 沿着燕尾的外蕴平坦曲面
    S3.4 沿着燕尾的外蕴平坦曲面的奇点
结语
参考文献
致谢



本文编号：3828081