基于Floquet理论和KAM理论的两类非自治线性系统控制的研究

发布时间：2024-12-01 07:13

　　非自治线性系统的研究在数学中占有重要地位,在量子力学、材料物理等领域具有广泛的应用。特别地,非自治系统的稳定化问题在物理化学过程、生物、经济、工程等领域也越来越引起人们的关注。本文运用动力系统的约化理论研究两类特殊的非自治线性系统的稳定化问题。第一类是n维无限可微的周期系数的系统。这类系统源自卫星姿态控制、直升机的振动衰减,以及晶体的研究等问题。本文首先利用Floquet理论构造出一种含有同样周期的变换,在此变换的作用下,原周期系统被共轭成为一个自治线性系统。然后我们利用这个变换设计出时变的线性反馈控制器。并结合Lyapunov稳定性理论建立让周期系数系统达到渐进稳定的判据,这一判据对于n维系统都成立。最后,我们列举了在群SL(2,R)中三种情形下的数值模拟,分别是双曲型系统,椭圆型系统,以及1维含有周期位势的线性定态Schr?dinger方程,这些数值结果验证了方法的有效性。第二类是2维有限可微的准周期系数的系统。从频率个数的角度看,准周期系统是周期系统的高维推广,这类系统是量子霍尔效应,准晶体的光谱理论,冷原子调控等领域的基础。首先,本文在假设准周期系统可约化的前提下,设计出准周期的...

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【学位级别】：硕士

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摘要
Abstract
第1章 绪论
    1.1 研究背景与意义
    1.2 国内外研究现状
        1.2.1 非自治线性系统的稳定性
        1.2.2 可约性与几乎可约性
    1.3 研究内容和创新点
第2章 准备知识
    2.1 非自治Lyapunov稳定性理论
    2.2 Fourier分析
    2.3 Banach空间分解
    2.4 一些矩阵性质
    2.5 解析逼近
    2.6 旋转数与映射度
    2.7 KAM理论简介
第3章 周期线性系统的稳定性
    3.1 系统的约化
        3.1.1 周期系统的复值可约性
        3.1.2 周期系统的实值可约性
    3.2 控制器设计
    3.3 主要结果
    3.4 数值模拟
        3.4.1 双曲情形
        3.4.2 椭圆情形
        3.4.3 周期位势的Schr?dinger方程
第4章 准周期线性系统的稳定性
    4.1 控制器设计
    4.2 系统的约化
        4.2.1 解析系统的一步迭代
            1、非共振情形
            2、共振情形
        4.2.2 有限可微系统的一步迭代
        4.2.3 C^k准周期系统的几乎可约性
        4.2.4 C^k准周期系统的全测度可约性
        4.2.5 主要结果
    4.3 讨论与推广
        4.3.1 有限次迭代情形
        4.3.2 大扰动情形
        4.3.3 高维情形
    4.4 数值模拟
        4.4.1 系统的约化
        4.4.2 控制器的优化
        4.4.3 数值仿真
第5章 总结与展望
第6章 附录
参考文献
致谢
攻读硕士学位期间的科研成果



本文编号：4013741