分数阶微分方程解法研究

发布时间：2017-06-19 10:15

  本文关键词：分数阶微分方程解法研究，由笔耕文化传播整理发布。

【摘要】：分数阶微分方程能够有效的描述和刻画工程领域中许多整数解微分方程所不能描述和刻画的问题,且非线性分数阶微分方程求解难度大,使得分数阶微积分算子在非线性领域的研究中具有重要意义并成为众多学者关注的热点问题。本文在对国内外有关分数阶微分方程研究现状进行分析的基础上,主要针对黎曼刘维尔导数下的非线性分数阶微分方程解的存在唯一性及其解析解法进行研究。首先基于分数阶微分方程的知识给出R-L非线性分数阶微分方程的Peano定理和不等式定理,基于逐次逼近的方法,利用对分数阶微分方程构造的Tonelli序列和Ascoli引理证明分数阶R-L微分方程解的存在性,根据分数阶不等式定理证明了方程解的唯一性。其次介绍了微分变换法基础理论,将Adomian多项式、Pade逼近法与R-L微分变换法相结合,提出改进的微分变换法。利用Adomian多项式代替方程中的非线性部分,对方程进行广义微分变换法求出其级数解,运用Padé法对其级数解进行逼近。改进的算法具有较小的计算量,具有较高的精度。并以数值算例验证了算法的有效性。然后利用小波-Galerkin方法求解R-L非线性分数阶微分方程,并给出误差分析。通过数值算例验证了算法的适用性和鲁棒性。研究结果表明:基于小波-Galerkin方法的分数阶微分方程求解算法具有较强的稳定性,在求解精度方面也比较理想,是一种适用于一般非线性分数阶微分方程求解算法。最后将Adomian法和摄动法相结合求解分数阶微分方程,引入小参数使方程的级数解项数尽可能少、解的精度高,并对方程的非线性部分进行了分解迭代。并通过算例来验证算法的可行性。
【关键词】：分数阶 微分变换法 小波 Adomian法
【学位授予单位】：华北理工大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2016
【分类号】：O175
【目录】：

• 摘要4-5
• Abstract5-8
• 引言8-9
• 第1章 绪论9-13
• 1.1 预备知识9-12
• 1.2 论文主要工作12-13
• 第2章 分数阶微分方程解存在唯一性13-20
• 2.1 相关引理13-14
• 2.2 分数阶微分方程解存在性14-16
• 2.3 分数阶微分方程解唯一性16-19
• 2.4 本章小结19-20
• 第3章 改进的微分变换法求解分数阶微分方程20-36
• 3.1 微分变换法基本原理20-23
• 3.2 算法设计23-27
• 3.2.1 Adomian多项式的微分变换23-26
• 3.2.2 Padé逼近26-27
• 3.3 数值算例27-35
• 3.4 本章小结35-36
• 第4章 小波-Galerkin求解分数阶微分方程36-46
• 4.1 理论基础36-38
• 4.1.1 Harr小波分析基本原理36-38
• 4.2 小波Galerkin法求解分数阶微分方程38-40
• 4.2.1 算法设计38-39
• 4.2.2 解的存在性证明39-40
• 4.3 数值算例40-45
• 4.4 本章小结45-46
• 第5章 Adomian求解分数阶微分方程46-55
• 5.1 理论基础46-48
• 5.1.1 Adomian分解法46-47
• 5.1.2 摄动理论47-48
• 5.2 算法分析48-51
• 5.3 数值算例51-54
• 5.4 本章小结54-55
• 结论55-56
• 参考文献56-60
• 致谢60-61
• 导师简介61-62
• 作者简介62-63
• 学位论文数据集63

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