Bernoulli小波求解三类分数阶微积分方程组数值解研究

发布时间：2017-06-29 00:06

  本文关键词：Bernoulli小波求解三类分数阶微积分方程组数值解研究，由笔耕文化传播整理发布。

【摘要】：随着科技的发展,在现实工程和物理等许多科学领域中,越来越多的实际问题建立数学模型后均为线性或非线性分数阶系统,而这些系统大多数都需要通过分数阶微积分方程组来描述,所以求出分数阶微积分方程组的数值解,就是处理这些系统的前提。近几十年,求分数阶微积分方程组的数值解已作为热点问题,受到了广大学者的关注。如今,针对不同类型的分数阶微积分方程组,已提出了几种不同的数值解法,例如Adomian分解法、Laplase变换法、泰勒展开法、配置点法等。然而,应用小波来求分数阶微积分方程组数值解的研究还相对较少。目前,常见的小波主要有Haar小波、Legendre小波、Chebyshev等,而本文将提出一种新的小波,即Bernoulli小波,并应用Bernoulli小波来求解三类分数阶微积分方程组的数值解,这是Bernoulli小波首次被应用于求解分数阶微积分方程组的数值解,也是本文的创新点所在,通过应用Bernoulli小波基函数,结合算子矩阵思想,将所要处理的分数阶微积分方程组转化为易求解的线性或非线性的代数方程组,便于用Matlab编程求解。首先,分别介绍小波分析及分数阶微积分的发展历程与应用,提出课题的研究背景与研究意义。其次,简单概述所应用的一些基础知识,给出分数阶微积分的三种定义及相关联系,同时介绍小波、Bernoulli小波、Block Pulse函数(BPFs)的构成及其相关性质。最后,详细分析Bernoulli小波求解分数阶微积分方程组的数值算法,同时给出算法的误差分析,并用相应的数值算例来验证理论推导的正确性和算法的有效性。该算法主要是利用Bernoulli小波和Block Pulse函数(BPFs)之间的关系,结合BPFs的性质,推导出Bernoulli小波的分数阶积分算子矩阵,再利用算子矩阵将本文所求的分数阶微分方程组转化为易求解的线性、非线性代数方程组,进而便于利用Matlab求得其数值解。
【关键词】：分数阶微积分方程组 Bernoulli小波 数值解 算子矩阵
【学位授予单位】：燕山大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2016
【分类号】：O241.83
【目录】：

• 摘要5-6
• ABSTRACT6-10
• 第1章 绪论10-16
• 1.1 小波分析的发展进程及其应用10-12
• 1.1.1 小波分析的发展进程10-11
• 1.1.2 小波分析的应用11-12
• 1.2 分数阶微积分的研究历程及研究意义12-13
• 1.2.1 分数阶微积分的研究历程12-13
• 1.2.2 分数阶微积分的研究意义13
• 1.3 课题的研究意义及主要研究内容13-16
• 1.3.1 课题的研究意义13-14
• 1.3.2 主要研究内容14-16
• 第2章 基础知识16-23
• 2.1 Bernoulli小波的定义及相关性质16-17
• 2.1.1 小波16
• 2.1.2 Bernoulli小波的定义及相关性质16-17
• 2.2 分数阶微积分的基础知识17-20
• 2.2.1 分数阶微积分的定义17-19
• 2.2.2 三种分数阶导数之间的关系19
• 2.2.3 分数阶微积分相关性质19-20
• 2.3 Block Pulse函数的基础知识20-22
• 2.3.1 Block Pulse函数的定义与性质20-21
• 2.3.2 Block Pulse函数的函数逼近21-22
• 2.3.3 Block Pulse函数的积分算子矩阵22
• 2.4 本章小结22-23
• 第3章 Bernoulli小波求解一类分数阶微积分方程组的数值解23-33
• 3.1 Bernoulli小波的函数逼近23-24
• 3.2 Bernoulli小波的分数阶积分算子矩阵24-26
• 3.2.1 Bernoulli小波和Block Pulse函数的关系24-25
• 3.2.2 Bernoulli小波分数阶积分算子矩阵25-26
• 3.3 收敛性分析26-27
• 3.4 数值算例27-32
• 3.5 本章小结32-33
• 第4章 Bernoulli小波求解线性和非线性分数阶微分方程组的数值解33-42
• 4.1 函数逼近33
• 4.2 数值算法33-34
• 4.3 数值算例34-41
• 4.4 本章小结41-42
• 第5章 Bernoulli小波求解一类变系数分数阶微分方程组的数值解42-50
• 5.1 数值算法42-43
• 5.2 数值算例43-49
• 5.3 本章小结49-50
• 结论50-51
• 参考文献51-55
• 攻读硕士学位期间承担的科研任务55-56
• 致谢56

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