分数阶Nambu系统动力学基本理论的研究

发布时间：2017-06-29 09:19

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【摘要】：分数阶微积分的研究已经有三百多年的历史，由于缺少实际应用背景，分数阶微积分一直没有受到重视．20世纪70年代末，美国耶鲁大学教授Mandelbort发现自然界中存在大量分数维的事实，分数阶动力学的研究迅速成为热点，在理论与应用上取得了很大的发展．Nambu系统比广义Hamilton系统更为一般，是一类具有科学与工程背景的基本动力学系统，但是，Nambu系统动力学的研究停留在整数阶层面上，分数阶Nambu系统动力学的理论有待于建立． 本论文建立了分数阶Nambu系统动力学的基本理论，研究了分数阶Nambu系统的运动方程、代数结构、Poisson积分、积分不变量的构造方法以及平衡状态流形稳定性理论，并给出分数阶Nambu方法在实际问题中的应用． 第一章简要的介绍了分数阶动力学和Nambu系统动力学的研究历史与现状，提出了本论文所要解决的问题． 第二章简要的归纳了Riemann Liouville、Caputo、Riesz Riemann Liouville、Riesz Caputo和Cresson等五种不同分数阶导数的定义及其性质．基于Cresson联合分数阶导数的定义，利用Nambu Poisson括号，建立了统一的分数阶Nambu系统动力学方程；基于不同的分数阶导数的定义，分别建立了四类分数阶Nambu系统动力学方程．作为分数阶Nambu方法的应用，分别构造了三个新型的分数阶动力学模型． 第三章基于Riesz Riemann Liouville分数阶导数的定义，分别探究了分数阶Nambu系统与整数阶Nambu系统、分数阶广义Hamilton系统、广义Hamilton系统、自治的分数阶Birkhoff系统、自治Birkhoff系统、分数阶Hamilton系统、经典Hamilton系统、分数阶Lagrange系统以及Lagrange系统之间的关系，并且分别给出了退化或转化条件． 第四章在Riesz Riemann Liouville分数阶导数的定义下，研究了分数阶Nambu系统的代数结构和Poisson积分．我们发现，分数阶Nambu系统具有Lie代数结构，证明了分数阶Nambu系统的Poisson积分定理．作为其特殊情况，给出了整数阶Nambu系统、分数阶广义Hamilton系统、广义Hamilton系统、分数阶Hamilton系统与Hamilton系统的Poisson积分定理．列举三个实例说明了分数阶Nambu系统Poisson定理的应用． 第五章研究了Riesz Riemann Liouville定义下的分数阶Nambu系统的变分方程与积分不变量的构造方法．我们发现，利用分数阶Nambu系统的第一积分与变分方程，可以构造分数阶Nambu系统的积分不变量，给出了积分不变量的存在定理．作为其特殊情况，给出了整数阶Nambu系统、分数阶广义Hamilton系统、广义Hamilton系统、分数阶Hamilton系统和Hamilton系统的变分方程和积分不变量．最后，，给出实例说明本章方法的应用． 第六章在Riesz Riemann Liouville定义下，研究了分数阶Nambu系统的平衡状态流形的稳定性．给出了系统的平衡方程、受扰运动方程和一次近似方程，得到判定系统平衡状态流形稳定性的三个命题．作为其特殊情况，给出了判定整数阶Nambu系统、分数阶广义Hamilton系统、广义Hamilton系统、分数阶Hamilton系统和Hamilton系统的平衡状态流形稳定性的相应推论．列举实例说明了本章方法的应用． 第七章归纳总结了本文的主要工作，提出了分数阶Nambu系统动力学进一步研究的一些建议．
【关键词】：分数阶算子 分数阶Nambu系统 代数结构 Poisson积分 积分不变量 稳定性 平衡状态流形
【学位授予单位】：浙江理工大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O172
【目录】：

• 摘要4-6
• Abstract6-8
• 目录8-11
• 第一章 绪论11-16
• 1.1 分数阶动力学的历史与现状11-12
• 1.2 Nambu 系统动力学的历史与现状12-14
• 1.3 主要研究内容14-16
• 第二章 分数阶 Nambu 系统16-34
• 2.1 分数阶导数的定义与性质16-20
• 2.1.1 Riemann Liouville 分数阶导数的定义与性质16-17
• 2.1.2 Riesz Riemann Liouville 分数阶导数的定义与性质17-18
• 2.1.3 Caputo 分数阶导数的定义与性质18
• 2.1.4 Riesz Caputo 分数阶导数的定义与性质18-19
• 2.1.5 联合分数阶导数的定义与性质19-20
• 2.2 整数阶 Nambu 系统动力学方程20-21
• 2.3 分数阶 Nambu 系统动力学方程21-29
• 2.3.1 统一的分数阶 Nambu 系统动力学方程22-23
• 2.3.2 联合 Riemann Liouville 定义下的分数阶 Nambu 方程23-25
• 2.3.3 Riesz Riemann Liouville 定义下的分数阶 Nambu 方程25-26
• 2.3.4 联合 Caputo 定义下的分数阶 Nambu 方程26-28
• 2.3.5 Riesz Caputo 定义下的分数阶 Nambu 方程28-29
• 2.4 分数阶 Nambu 方法的应用29-33
• 2.4.1 基于分数阶 Nambu 方法构造一个新的分数阶动力学模型29-30
• 2.4.2 基于分数阶 Nambu 方法构造分数阶 Euler 陀螺模型30-31
• 2.4.3 基于分数阶 Nambu 方法构造分数阶相对论 Yamaleev 振子模型31-33
• 2.5 本章小结33-34
• 第三章 分数阶 Nambu 系统与其它动力学系统之间的关系34-41
• 3.1 分数阶 Nambu 系统与 Nambu 系统之间的关系34-35
• 3.2 分数阶 Nambu 系统与分数阶广义 Hamilton 系统之间的关系35-36
• 3.2.1 广义 Poisson 括号与分数阶广义 Hamilton 方程35
• 3.2.2 分数阶 Nambu 系统与分数阶广义 Hamilton 系统之间的关系35-36
• 3.3 分数阶 Nambu 系统与广义 Hamilton 系统之间的关系36
• 3.4 分数阶 Nambu 系统与分数阶 Birkhoff 系统之间的关系36-37
• 3.5 分数阶 Nambu 系统与 Birkhoff 系统之间的关系37-38
• 3.6 分数阶 Nambu 系统与分数阶 Hamilton 系统之间的关系38
• 3.7 分数阶 Nambu 系统与 Hamilton 系统之间的关系38-39
• 3.8 分数阶 Nambu 系统与分数阶 Lagrange 系统之间的关系39
• 3.9 分数阶 Nambu 系统与 Lagrange 系统之间的关系39-40
• 3.10 本章小结40-41
• 第四章 分数阶 Nambu 系统的代数结构与 Poisson 积分41-64
• 4.1 分数阶 Nambu 系统的代数结构与 Poisson 积分41-47
• 4.1.1 分数阶 Nambu 系统的代数结构41-43
• 4.1.2 分数阶 Nambu 系统的 Poisson 积分43-47
• 4.2 Nambu 系统的代数结构与 Poisson 积分47-53
• 4.2.1 Nambu 系统的代数结构48-49
• 4.2.2 Nambu 系统的 Poisson 积分49-53
• 4.3 分数阶广义 Hamilton 系统的代数结构与 Poisson 积分53-55
• 4.3.1 分数阶广义 Hamilton 系统的代数结构53-54
• 4.3.2 分数阶广义 Hamilton 系统的 Poisson 积分54-55
• 4.4 广义 Hamilton 系统的代数结构与 Poisson 积分55-56
• 4.5 分数阶 Hamilton 系统的代数结构与 Poisson 积分56-58
• 4.6 Hamilton 系统的代数结构与 Poisson 积分58-59
• 4.7 分数阶 Nambu 系统 Poisson 积分定理的应用59-63
• 4.7.1 一个三维分数阶动力学模型的 Poisson 积分59-61
• 4.7.2 分数阶 Euler 陀螺模型的 Poisson 积分61-62
• 4.7.3 分数阶相对论 Yamaleev 振子模型的 Poisson 积分62-63
• 4.8 本章小结63-64
• 第五章 分数阶 Nambu 系统的变分方程与积分不变量64-77
• 5.1 分数阶 Nambu 系统的变分方程与积分不变量64-67
• 5.2 Nambu 系统的变分方程与积分不变量67-69
• 5.3 分数阶广义 Hamilton 系统的变分方程与积分不变量69-70
• 5.4 广义 Hamilton 系统的变分方程与积分不变量70-71
• 5.5 分数阶 Hamilton 系统的变分方程与积分不变量71-72
• 5.6 Hamilton 系统的变分方程与积分不变量72
• 5.7 分数阶 Nambu 系统积分不变量构造方法的应用72-76
• 5.7.1 一个三维分数阶动力学模型的积分不变量73-74
• 5.7.2 分数阶 Euler 陀螺模型的积分不变量74-75
• 5.7.3 分数阶相对论 Yamaleev 振子模型的积分不变量75-76
• 5.8 本章小结76-77
• 第六章 分数阶 Nambu 系统平衡状态流形的稳定性77-98
• 6.1 分数阶 Nambu 系统平衡状态流形的稳定性77-81
• 6.1.1 分数阶 Nambu 系统的运动微分方程77-78
• 6.1.2 分数阶 Nambu 系统的平衡方程78
• 6.1.3 分数阶 Nambu 系统的受扰运动方程和一次近似方程78-80
• 6.1.4 分数阶 Nambu 系统平衡状态流形的稳定性80-81
• 6.2 Nambu 系统平衡状态流形的稳定性81-84
• 6.3 分数阶广义 Hamilton 系统平衡状态流形的稳定性84-86
• 6.4 广义 Hamilton 系统平衡状态流形的稳定性86-88
• 6.5 分数阶 Hamilton 系统平衡状态流形的稳定性88-91
• 6.6 Hamilton 系统平衡状态流形的稳定性91-93
• 6.7 分数阶 Nambu 系统平衡状态流形稳定性判据的应用93-97
• 6.7.1 一个三维分数阶动力学模型的平衡状态流形的稳定性93-94
• 6.7.2 分数阶 Euler 陀螺模型的平衡状态流形的稳定性94-96
• 6.7.3 分数阶相对论 Yamaleev 振子模型的平衡状态流形的稳定性96-97
• 6.8 本章小结97-98
• 第七章 总结与展望98-100
• 7.1 本文的主要结果98-99
• 7.2 未来研究工作的设想99-100
• 参考文献100-107
• 致谢107-108
• 攻读硕士学位期间发表的论文10

【参考文献】

中国期刊全文数据库 前10条

1 罗绍凯,傅景礼,陈向炜;变质量非完整系统运动方程的代数结构[J];电力学报;1998年03期

2 罗绍凯;变质量非完整系统相对运动动力学方程的积分理论[J];固体力学学报;1994年03期

3 梅凤翔;;The Noether's Theory of Birkhoffian Systems~*[J];Science in China,Ser.A;1993年12期

4 ;Stability of a linear oscillator with damping force of the fractional-order derivative[J];Science China(Physics,Mechanics & Astronomy);2010年02期

5 罗绍凯;GENERALIZED NOETHER'S THEOREM FOR VARIABLE MASS HIGHER-ORDER NONHOLONOMIC MECHANICAL SYSTEMS IN NONINERTIAL REFERENCE FRAMES[J];Chinese Science Bulletin;1991年22期

6 梅凤翔;ON THE STABILITY OF EQUILIBRIA OF NONLINEAR NONHOLONOMIC SYSTEMS[J];Chinese Science Bulletin;1992年16期

7 ;Lie symmetries of mechanical systems with unilateral holonomic constraints[J];Chinese Science Bulletin;2000年15期

8 梅凤翔;非完整系统的第一积分与积分不变量[J];科学通报;1991年11期

9 张解放;非完整系统的非等时变分方程与积分不变量的构造[J];科学通报;1992年07期

10 ;Lie symmetry and conservation law of Birkhoffian system[J];Chinese Science Bulletin;1999年04期

中国硕士学位论文全文数据库 前2条

1 姜文安;广义Hamilton系统动力学基本理论的研究[D];浙江理工大学;2012年

2 彭旺;分数阶Birkhoff系统动力学基本理论的研究[D];浙江理工大学;2014年

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本文编号：497368