基于移位Jacobi多项式求解三类变分数阶非线性微积分方程

发布时间：2017-08-03 13:27

  本文关键词：基于移位Jacobi多项式求解三类变分数阶非线性微积分方程

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【摘要】：近些年来,随着科技的不断进步,有些关于物理和工程等科学领域的数学模型不再是分数阶线性或非线性系统,而出现了变分数阶线性或非线性系统。如变分数阶微分已经被成功的应用到了研究黏弹性材料及振荡器的动力学问题与控制问题当中,这些问题一般是利用变分数阶微分或积分方程来建立模型的,因此如何求解变分数阶微分、积分方程成了处理这些系统问题的关键,随即研究变分数阶微积分方程数值解成为了一个受人瞩目的研究课题。在数值分析中,多项式逼近函数理论被广泛地应用,即用多项式去逼近解析式较为复杂或者解析式未知的函数。因此论文基于移位Jacobi多项式对未知函数进行逼近,结合变分数阶微积分定义和算子矩阵的思想,研究变分数阶微积分方程的求解方法。论文主要包括以下内容:首先,论文介绍了分数阶微分、积分和变分数阶微分、积分的历史背景和研究现状。然后给出了分数阶微分、积分,变分数阶微分、积分的定义。再次结合Jacobi多项式的定义及性质,推导出了移位Jacobi多项式。其次,在第3、4章中,首先给出移位Jacobi多项式逼近函数及其收敛性分析,然后结合移位Jacobi多项式的定义及变分数阶微分的定义,推导出了移位Jacobi多项式的一阶微分算子矩阵和变分数阶微分算子矩阵,利用所得算子矩阵将变分数阶非线性Riccati微分方程及一般形式的变分数阶非线性微分方程转化为矩阵相乘的形式,通过离散变量转化为代数方程组的形式,进而利用计算机MATLAB编程求得原方程的数值解,最后数值算例验证了所提算法的可行性和有效性。最后,在第5章中,通过函数逼近理论及变分数阶微积分定义推导出移位Jacobi多项式的一阶积分算子矩阵,结合第3、4章所得到的变分数阶微分算子矩阵求解了一类变分数阶非线性微积分方程。
【关键词】：变分数阶非线性微积分方程 移位Jacobi多项式 算子矩阵 数值解 绝对误差
【学位授予单位】：燕山大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O241.83
【目录】：

• 摘要5-6
• ABSTRACT6-10
• 第1章 绪论10-16
• 1.1 多项式逼近函数研究背景及意义10-11
• 1.2 分数阶微积分的研究背景及意义11-12
• 1.3 数值计算方法的研究现状12-14
• 1.4 课题提出的背景及研究意义14-15
• 1.5 论文的主要内容及安排15-16
• 第2章 基础知识16-28
• 2.1 三类经典的分数阶微积分16-22
• 2.1.1 分数阶Riemann-Liouville微积分16-18
• 2.1.2 分数阶Caputo微积分18-20
• 2.1.3 分数阶Grünwald-Letnikov微积分20-22
• 2.2 变分数阶微积分的基础知识22-24
• 2.2.1 变分数阶微积分定义22-23
• 2.2.2 变分数阶微积分性质23-24
• 2.3 多项式的知识简介24-27
• 2.3.1 正交多项式的定义及性质24-25
• 2.3.2 Jacobi多项式的定义及性质25-26
• 2.3.3 移位Jacobi多项式的定义26-27
• 2.4 本章小结27-28
• 第3章 移位Jacobi多项式求解变分数阶非线性Riccati微分方程28-38
• 3.1 函数的逼近28
• 3.2 误差估计及收敛性分析28-30
• 3.3 应用移位Jacobi多项式求解变分数阶非线性Riccati微分方程30-36
• 3.3.1 移位Jacobi多项式的线性项变阶微分算子矩阵30-32
• 3.3.2 数值求解算法32-33
• 3.3.3 数值算例33-36
• 3.4 本章小结36-38
• 第4章 移位Jacobi多项式求解一般形式的变分数阶非线性微分方程38-45
• 4.1 移位Jacobi多项式的一阶微分算子矩阵38-39
• 4.2 移位Jacobi多项式的非线性项变阶微分算子矩阵39-40
• 4.3 数值算法40
• 4.4 数值算例40-44
• 4.5 本章小结44-45
• 第5章 基于移位Jacobi多项式求解一类变分数阶非线性微积分方程45-51
• 5.1 移位Jacobi多项式的一阶积分算子矩阵45-46
• 5.2 数值算法46-47
• 5.3 数值算例47-50
• 5.4 本章小结50-51
• 结论51-53
• 参考文献53-58
• 攻读硕士学位期间承担的科研任务与主要成果58-59
• 致谢59

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本文编号：614612