变分数阶扩散方程及其反问题

发布时间：2017-09-21 12:25

  本文关键词：变分数阶扩散方程及其反问题

  更多相关文章： 一维变时间/空间分数阶扩散方程 二维变空间分数阶扩散方程 反问题 变分数阶导数 同伦正则化算法 交替差分法 稳定性与收敛性 数值反演

【摘要】：本文主要考虑三类变分数阶扩散模型及其微分阶数反问题,分别是一维变时间分数阶扩散方程、一维变空间分数阶对流扩散方程,二维变空间分数阶扩散方程。文章从变分数阶导数的定义出发,对三种方程的差分格式进行了论述,并给予有效的数值模拟演算。由于实际问题中微分阶数是未知的,特别对于依赖时间/空间变量的微分阶数,更是难以通过实验手段直接测量获得,因而我们在正问题的基础上,开展了对此类方程中变微分阶数的数值反演研究。论文主要内容安排如下:第一章,介绍研究意义,并对国内外相关研究进行总结,给出本文的工作重点。第二章,介绍四种变分数阶导数的概念及其它们之间的关系。第三章,考虑一维变时间分数阶常系数扩散方程。对于正问题求解,用Caputo变分数阶导数进行离散,基于系数谱半径的精细估计,给出差分格式稳定性和收敛性的证明。同时,引入同伦正则化算法对确定微分阶数的反问题进行数值反演模拟。第四章,考虑一维变空间分数阶对流扩散方程。对于正问题,应用改进的Grunwald-Letnikov分数阶导数定义进行离散,得到隐式差分格式,关于格式的稳定性和收敛性我们用简便方法给出证明,并给出数值算例。在正问题计算的基础上,应用同伦正则化算法给出确定随时间/空间变化的微分阶数的数值反演问题。第五章,考虑二维变空间分数阶扩散方程问题。应用改进的Grunwald-Letnikov分数阶导数定义离散方程得到Euler交替差分格式。进而研究确定变微分阶数的数值反演,讨论不同参数取值对反演算法的影响。第六章对本文工作进行总结,指出研究不足及进一步的研究方向。
【关键词】：一维变时间/空间分数阶扩散方程 二维变空间分数阶扩散方程 反问题 变分数阶导数 同伦正则化算法 交替差分法 稳定性与收敛性 数值反演
【学位授予单位】：山东理工大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2016
【分类号】：O241.82
【目录】：

• 摘要4-5
• Abstract5-8
• 第一章 绪论8-11
• 1.1 研究意义8-9
• 1.2 研究动态及发展趋势9-10
• 1.3 本文主要工作10-11
• 第二章 预备知识11-14
• 2.1 四种变分数阶导数定义11-12
• 2.2 变分数阶导数关系12-14
• 第三章 一维变时间分数阶扩散方程及其反问题14-27
• 3.1 一维变时间分数阶扩散方程14
• 3.2 正问题的数值求解14-20
• 3.2.1 求解正问题的差分格式14-16
• 3.2.2 稳定性和收敛性的证明16-18
• 3.2.3 正问题求解的数值算例18-20
• 3.3 反问题及反演算法20-22
• 3.4 数值反演22-26
• 3.5 结束语26-27
• 第四章 一维变空间分数阶对流扩散方程及其反问题27-41
• 4.1 一维变空间分数阶对流扩散方程27-28
• 4.2 正问题的数值求解28-35
• 4.2.1 求解正问题的差分格式28-29
• 4.2.2 稳定性和收敛性分析29-31
• 4.2.3 数值算例31-35
• 4.3 数值反演35-40
• 4.3.1 关于微分阶数数值反演35-38
• 4.3.2 关于微分阶数数值反演—算例 4.238-40
• 4.4 结束语40-41
• 第五章 二维变空间分数阶扩散方程及其反问题41-51
• 5.1 二维变空间分数阶扩散方程41
• 5.2 正问题的求解41-48
• 5.2.1 差分格式的构建41-45
• 5.2.2 数值算例45-48
• 5.3 数值反演48-50
• 5.4 本章总结50-51
• 第六章 总结与展望51-52
• 6.1 主要结论51
• 6.2 后续工作展望51-52
• 参考文献52-56
• 在学期间公开发表论文及著作情况56-57
• 致谢57

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本文编号：894514