几类超扩散反应系统的斑图动力学研究

发布时间：2020-04-19 22:23

【摘要】：反常扩散现象在自然界是普遍存在的.由于分数阶扩散方程不仅可以刻画反常扩散的记忆过程、遗传性质和空间非局域性特征,而且还可以准确描述介质迁移的穿透曲线.同时其作为一种数学物理建模方法,且在某些复杂系统的建模方面比整数阶方程更具有优势.因此反常扩散是理论物理和统计力学的基础研究课题之一,也是生态数学、经济金融和工程等领域普遍关心的一种基本物理过程,具有切实的实际应用背景.研究表明:次扩散可以抑制斑图的形成;超扩散导致前波速度的显著增加.此外,Levy飞行系统中可能导致螺旋波和化学湍流形成的振荡反应扩散模式.那么对超扩散反应扩散的斑图动力学研究将是很有趣的.因此本文将从以下三个方面探究该斑图动力学行为.首先利用Galerkin逼近方法和Gronwall不等式分析了具有反常扩散的捕食食饵模型弱解的存在唯一性.在此基础上,利用最小序列理论进一步考虑该超扩散系统的最优控制问题.其次研究了一类具有超扩散项化学反应-Lengyel-Epstein系统的Turing斑图问题.分析了诸如均匀解,条纹和六边形斑图解的存在性,混合斑图,及其稳定性,以及解之间的相互作用和转换.数值仿真表明抑制剂和激活剂的超扩散指数的比率在斑图选择中的重要作用.如果该比率不等于1时,则空间斑图是多样的.但是,若比率等于1,和整数阶的没有本质区别,只有数量的差别.最后第四章探究了具有超交叉扩散系统的Turing斑图问题.研究表明,具有两个共振矢量的波,可导致热或冷点斑图的出现,这是第三章没有的结果.第五章研究了具有超扩散项的捕食食饵系统的Turing-Hopf分支.研究表明,对于Turing-Hopf分-支来说,当某一个分数阶指数减少时,(i)会发生二次分岔出现;(ii)超扩散可以产生和消除波斑图.
【图文】：

分支曲线

＜ｉ邋＞邋Ｕ邋）邋Ｕ邋＜逦＜！逦？邋Ｕ邋ｌ逡逑图３．１邋Ｔｕｒｉｎｇ和Ｈｏｐｆ分支曲线逡逑在图３．２里，三个不同的曲线：－邋１邋＝邋０为虚线，分别对应逡逑７邋＝邋１，１．５，邋２．然后由曲线心，卜和６确定三个不同的图灵不稳定性参数域．从逡逑图３．２可以看出，Ｔｕｒｉｎｇ不稳定域随着７的变化而变化，随着７的增加，Ｔｕｒｉｎｇ不逡逑稳定域却在减小．当７邋＝邋２时，它是具有正常扩散的区域，远小于超扩散对应逡逑的不稳定域．逡逑§３．３多尺度分析逡逑根据以上分析，我们仍然不知道哪种Ｔｕｒｉｎｇ斑图将形成．由于Ｔｕｒｉｎｇ斑逡逑图的形成是当Ｔｕｒｉｎｇ参数６接近临界值６邋＝逦时，与临界模相匹的特征值逡逑接近于零，且它们是慢变化的模，而非临界模则快速地松弛，因此只考虑ｆｃ的逡逑扰动在附近时．在［１２２，邋１２３，邋１２４］中．作者介绍了描述快模动力学的振幅逡逑方程．通过分析扩散系统的振幅方程

相图,斑图,相图,分支

Р┦柯畚模杭咐喑噗┥⒎从ο低车陌咄级狯ρа芯浚]3?次临界分支引起的．即，系统在控制参数区域存在一个双稳区，＆邋＜／ｉ邋＜／／２，逡逑在该双稳区，六边形斑图和均匀态都是稳定的，见图３．２．条形斑图的出现源于逡逑超临界分支，但当／／＜／？／，３时，它是不稳定的．只有当／Ｘ邋＞邋＂３时，条状斑图才逡逑会变为稳定的．由于六边形斑图在／ｉ邋＞叫时才会失稳，那么，当控制参数Ａｉ逡逑落在（／／３，／ｉ４：）区间时，系统存在另一个双稳态，即六边形和条状斑图共存的双逡逑稳，，当控制参数大于／／邋＞邋／／４时，系统由六边形斑图切换为条状斑图．逡逑。：么二：逡逑Ｃ邋——逦？逦逦逦逡逑４Ｓ邋９邋Ｊ５邋＊邋ｔ￥邋２逦２＜逡逑图３．２斑图解分支相图．逡逑图３．２，邋Ｔｕｒｉｎｇ斑图（＂，ｐ）面的分支相图是系统（３．１．２）利用多尺度分析得逡逑到的．（红）是正六边形斑图对应于＾邋＝邋０；逦＝邋７Ｔ（蓝）是负六边形斑图对应逡逑于Ｗ邋＝邋７Ｔ．黑线是条状斑图．相关参数取值为ａ邋＝邋１５，６邋＝邋１．２，ｅ邋＝邋２，＜７邋＝邋８和逡逑７邋＝邋１．５．其中相关／／的临界值分别为＆邋＝邋－０．２，妁＝０．１８９６和／／４邋＝邋１．２２５４．逡逑实线表示解是稳定的
【学位授予单位】：安徽大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2019
【分类号】：O232;Q141

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