非良基集与模态逻辑

发布时间：2017-08-14 05:17

  本文关键词：非良基集与模态逻辑

  更多相关文章： 非良基集合 模态逻辑 可定义性 互模拟 元逻辑性质

【摘要】：在策梅洛-弗兰克尔的集合论公理系统ZF中,基础公理把集合的论域限制到良基集合。因此,不存在属于关系的无穷降链,也不存在属于自身的集合。1989年阿克采尔创立了非良基集合理论,引入反基础公理AFA替换ZF中的基础公理FA,从而得到非良基集合论系统ZFA。由于非良基集合可以用来构造循环现象的模型,而这些循环现象都不能用经典集合论来描述,因此,它们在哲学、经济学、模态逻辑、语言学以及理论计算机科学中具有十分广阔的应用前景。接受非良基集合并发展非良基集理论具有重要的理论意义和应用价值。 本文研究非良基集合与模态逻辑的关系,在模态逻辑的集合论语义下探讨了一些重要的语义概念,进而研究了集合(模型)的构造、可定义性等等模型论问题。概括说来,本文的主要工作包括以下三个方面: 第一,梳理了非良基集合论的理论背景、发展历史和研究现状,介绍了非良基集合在众多研究领域的广泛应用。 第二,根据阿克采尔和巴威斯等人的观点,阐述了非良基集合的基本理论,从集合与图的关系和方程组的解两个方面引入反基础公理,保证非良基集合的存在性。接着,引入两个重要的概念。一个概念是本元,它既不是集合也不是类,但可以作为集合的元素。把本元引入图的装饰,便得到加标图。另一个概念是集合上的互模拟关系,它用于判定两个非良基集合相等。 第三,在集合论语义下重新研究模态逻辑。本文探讨了框架、模型和集合之间的联系,然后研究集合的构造以及模态可定义性问题,并且将基本模态语言翻译到经典(一阶或二阶)集合论语言。本文还引入了集合之间的互模拟关系和方程组之间的互模拟,进而研究加标图上的互模拟与模态等价之间的关系。最后,在集合论语义下重新研究模态逻辑的一些元逻辑性质。 本文的主要创造性工作在于: 第一,在模态逻辑的集合论语义下,定义了集合之间的一些非标准运算,包括不交并、生成子集合、p-态射、树展开等,并证明了模态公式在这些运算下的保持或不变结果。 第二,把基本模态语言翻译到经典集合论语言,并且证明了语义上的对应结果,初步探讨了范·本特姆类型的刻画定理。 第三,在模态逻辑的集合论语义下,研究可定义性理论。本文重点研究了如何使用集合类对模态公式进行分类,从模态逻辑T的特征公式出发,把分类结果推广到其它模态逻辑的特征公式,包括模态逻辑KD、K4、KB、K5和GL的特征公式等等。 第四,使用图和加标图等语义结构,初步研究了模态逻辑系统的元逻辑性质,主要包括正规模态逻辑的完全性、有穷加标图性质和可判定性质。本文还尝试使用纯集合和含有本元的集合直接研究这些元逻辑性质。 目前,我国逻辑学界对非良基集合论及其应用的研究几乎还是一片空白,尚处起步阶段。在这方面,本文研究工作的意义是,在借鉴和吸纳国外研究成果的基础上,把非良基集合与模态逻辑相结合的研究成果引进、介绍到国内。更重要的是,本文在非良基集合论语义下重新研究了模态逻辑,解决了一些模型论问题,这有利于促进各个逻辑分支的共同发展,更大程度地发挥逻辑学的工具性作用。我认为,模态逻辑与非良基集合论的结合是一个具有深厚理论意义和应用价值的研究方向。
【关键词】：非良基集合 模态逻辑 可定义性 互模拟 元逻辑性质
【学位授予单位】：南开大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2009
【分类号】：B819
【目录】：

• 摘要3-5
• Abstract5-10
• 引言10-14
• 第一章 非良基集合概述14-29
• 第一节 良基集合和非良基集合14-17
• 1.1.1 集合论悖论14-15
• 1.1.2 公理集合论ZFC15-16
• 1.1.3 良基集与非良基集16-17
• 第二节 非良基集的研究历史和现状17-23
• 1.2.1 第一个时期:观念的萌芽(1900-1924)18
• 1.2.2 第二个时期:公理集合论(1925-1949)18-19
• 1.2.3 第三个时期:非良基集的存在性(1950-1974)19-20
• 1.2.4 第四个时期:非良基集合论的引入及其应用(1975-)20-23
• 第三节 非良基集与循环现象23-29
• 1.3.1 哲学中的循环现象23-25
• 1.3.2 经济学中的循环现象25
• 1.3.3 模态逻辑中的循环现象25-26
• 1.3.4 情境语义学中的循环现象26-27
• 1.3.5 理论计算机科学中的循环现象27-29
• 第二章 非良基集合的基本理论29-52
• 第一节 本元与非良基集合29-32
• 2.1.1 本元29-31
• 2.1.2 非良基集31-32
• 第二节 集合与图32-41
• 2.2.1 Mostowski坍塌定理32-33
• 2.2.2 集合与图33-38
• 2.2.3 集合与加标图38-41
• 第三节 集合与方程组的解41-45
• 2.3.1 集合相等的判定41-42
• 2.3.2 反基础公理的解引理表述42-44
• 2.3.3 反基础公理的两种等价表述44-45
• 第四节 互模拟45-52
• 2.4.1 集合上的互模拟关系45-46
• 2.4.2 加标图之间的互模拟关系46-47
• 2.4.3 方程组之间的互模拟关系47-50
• 2.4.4 强外延性50-52
• 第三章 模态逻辑的集合论语义52-88
• 第一节 模态语言的句法和语义53-59
• 3.1.1 基本模态语言和无穷模态语言53-55
• 3.1.2 模态逻辑的关系语义学55-56
• 3.1.3 正规模态逻辑56-59
• 第二节 框架、模型与集合59-67
• 3.2.1 模态模型与加标图59-61
• 3.2.2 模态逻辑的集合论语义61-67
• 第三节 模态语言与集合论语言67-71
• 第四节 集合运算和保持结果71-79
• 3.4.1 不交并73-75
• 3.4.2 生成子集合75-76
• 3.4.3 p-态射76-78
• 3.4.4 树展开78-79
• 第五节 互模拟与模态等价79-88
• 3.5.1 加标图之间的运算79-83
• 3.5.2 Hennessy-Milner性质83-86
• 3.5.3 van Benthem刻画定理86-88
• 第四章 模态可定义性88-109
• 第一节 使用模态公式刻画集合88-93
• 第二节 有穷模态语言与单个集合的刻画93-96
• 第三节 使用集合类对模态公式分类96-105
• 4.3.1 对应理论96-101
• 4.3.2 使用集合类对模态公式分类101-105
• 第四节 一些刻画结果105-109
• 4.4.1 持续性公理◇T105-106
• 4.4.2 传递性公理□p→□□p106
• 4.4.3 对称性公理p→□◇p106-107
• 4.4.4 欧性公理◇p→□◇p107
• 4.4.5 L(o|¨)b公理□(□p→p)→□p107-109
• 第五章 模态逻辑的元逻辑性质109-122
• 第一节 完全性109-116
• 5.1.1 L-加标图109-112
• 5.1.2 强完全性112-116
• 第二节 有穷加标图性和可判定性116-118
• 第三节 集合论语义与元逻辑性质118-122
• 参考文献122-126
• 致谢126-127
• 个人简历127-128

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本文编号：670951