反基础公理的模型研究

发布时间：2017-09-14 23:38

  本文关键词：反基础公理的模型研究

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【摘要】：在经典的公理化集合论系统ZF中,有一条刻画集合性质的公理。这条公理通常被称作基础公理、良基公理或正则公理,记作FA。在将FA加入ZF之前,循环集合在ZF中是否存在是不能断定的。将FA加入ZF之后,它不但排除了罗素悖论还使得经典集合论中的所有对象都是良基的。同时,它也排除了满足循环条件x∈x和∈-无穷递降链条件构成的集合(这类集合被称作非良基集合)。基础公理FA把ZF的论域限制到整个良基集合的范围中。因此,经典的公理化集合论系统ZF不能很好地刻画循环现象。然而,循环现象无处不在。例如,自然界中白天和黑夜的循环现象；年复一年的春、夏、秋、冬四季的循环现象；交通灯的颜色由红、黄、绿三色交替的循环现象。再如,计算机科学中自动控制系统和传递系统的循环；哲学中公共知识的“知道”结构循环；语义学中说谎者悖论的自我指称循环。为循环现象或者非良基集合建立模型是20世纪后期逻辑学家、数学家的一项重要工作。 1988年阿克采尔提出了反基础公理AFA,将ZF中的基础公理FA替换为反基础公理AFA得到了非良基集合论系统ZFC-+AFA,并为它建立了模型,从而创立了非良基集合理论。由于非良基集合论可以作为循环现象的模型,因此,它们在哲学、数学、经济学、逻辑学、语言学以及理论计算机科学中都具有十分重要的作用。 本文在借鉴和吸纳国内外研究成果的基础上,梳理了阿克采尔的非良基集合论的基本理论,讨论了非良基集合的外延性。特别的,利用哥德尔的可构成模型L,采用阿克采尔的方法,为含有反基础公理AFA的集合论系统ZFC-+AFA和含有反基础公理族AFA~的集合论系统ZFC-+AFA~建立了可构成模型；此外,在林德斯姆(Lindstrom)工作的基础上,仍然采用阿克采尔的方法,建立了含有反基础公理族AFA~的集合论系统ZFC-+AFA~的构造模型。这些工作对丰富集合论理论具有一定的意义,并对逻辑学发展有一定的促进作用。 总的来说,本文的主要工作包含以下四方面： 第一,详细的论证了基础公理FA与反基础公理AFA之间的关系,说明了FA的局限性,解释了AFA取代FA的原因,并介绍了AFA产生的过程。 第二,利用典范图提出了集合全域B中的外延公理,并且系统讨论了集合全域V~的外延性问题,还列举了许多例子来说明如何判断两个非良基集合相等的问题。另外,给出了五种集合全域之间包含关系的一个证明,即WF(?)A(?)S(?)F(?)B,说明了非良基集合全域是标准集合论全域(迭代集合全域WF)的扩张。 第三,以哥德尔可构成公理V=L为基础,在可构成集合全域下,重新定义了装饰、系统映射、正则互模拟等概念,采用阿克采尔的方法,分别建立了ZFC-+AFA和ZFC-+AFA~的可构成模型。当正则互模拟-分别取≌t和≌*时,就得到了ZFCˉ+ SAFA(将基础公理FA替换为斯考特的反基础公理SAFA后的得到的非良基集合论系统)和ZFCˉ+ FAFA(将基础公理FA替换为费思勒的反基础公理FAFA后的得到的非良基集合论系统)的可构成模型。 第四,在林德斯姆(Lindstrom)为反基础公理AFA建立构造模型的基础上,利用玛汀洛夫(Martin Lof)类型论,为同一公理族AFA~建立了构造模型。当正则互模拟～分别取≌t和≌*时,就得到了ZFCˉ+SAFA和ZFCˉ+FAFA的构造模型。
【关键词】：反基础公理 非良基集合 外延公理 可构成模型 构造性模型
【学位授予单位】：南开大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2010
【分类号】：B812
【目录】：

• 摘要5-7
• Abstract7-12
• 第一章 引言12-16
• 第二章 基础公理FA与反基础公理AFA16-25
• 第1节 关于基础公理FA之争16-19
• 第2节 基础公理FA的局限性19-21
• 2.2.1 流19-20
• 2.2.2 无穷树20-21
• 第3节 反基础公理AFA21-25
• 2.3.1 AFA的提出21-22
• 2.3.2 AFA的等价形式22-23
• 2.3.3 AFA的一致性23-25
• 第三章 四种反基础公理25-54
• 第1节 集合的图25-30
• 第2节 Boffa公理:BA_130-31
• 第3节 Azcle反基础公理:AFA31-41
• 3.3.1 互模拟32-37
• 3.3.2 系统映射37-40
• 3.3.3 AFA的等价形式40-41
• 第4节 公理AFA的推广:AFA～41-45
• 第5节 公理AFA的变体:FAFA和SAFA45-50
• 3.5.1 Finsler公理:FAFA45-47
• 3.5.2 Scott公理:SAFA47-50
• 第6节 公理AFA、FAFA和SAFA的关系50-54
• 第四章 非良基集合全域及其外延性公理54-64
• 第1节 Bofaf集合全域B及其外延性55-57
• 第2节 非良基集合全域V~～及其外延性57-62
• 第3节 非良基集合全域与数系扩张的类比62-64
• 第五章 反基础公理的可构成模型64-78
• 第1节 公理AFA的可构成模型64-73
• 第2节 公理族AFA~～的可构成模型73-78
• 第六章 反基础公理的构造性模型78-95
• 第1节 构造性集合论CZF78-84
• 第2节 AFA的构造模型84-92
• 第3节 公理族AFA~～的构造模型92-95
• 参考文献95-100
• 致谢100-101
• 个人简历101

【参考文献】

中国期刊全文数据库 前4条

1 李娜;杜文静;;非良基集合的外延公理(英文)[J];逻辑学研究;2009年03期

2 胡世华;信息时代的数学[J];数学进展;1988年01期

3 郝宁湘;构造性数学及其哲学意义[J];自然辩证法通讯;1997年03期

4 张清宇;循环并不可恶——《恶性循环 :非良基现象的数学 》评介[J];哲学动态;2005年04期

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本文编号：853045