Johnson方案的Terwilliger代数

发布时间：2017-12-17 23:33

  本文关键词：Johnson方案的Terwilliger代数

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【摘要】：代数组合是个相对"年轻"的研究领域.从1984年日本代数组合学家Eiichi Bannai 和 Tatsuro Ito 出版了专著《Algebra Combinatorics Ⅰ:association scheme》后,"代数组合"这个术语开始流行起来.但是代数组合的理论起源却可以追溯到群表示论,且最初是应用在编码和设计领域的.而近年来这一领域发展迅速,与数学的许多分支例如李代数、量子群和统计力学都有着密切联系.《Algebra Combinatorics Ⅰ:association scheme》这本书提出并详细讨论了(P和Q)-多项式结合方案的分类问题.这个分类目前是代数组合的核心问题:(P和Q)-多项式结合方案不仅本身具有非常有趣的性质而且作为编码/设计理论的底空间也是非常重要的.Terwilliger对这一分类做了非常重要的贡献,他提出了次成分代数的概念(现在我们称其为Terwilliger代数或简称为T-代数).另外他建立了关于薄的情形的表示理论,也就是Leonard系统理论[23,24,25].Terwilliger 代数包含 Bose-Mesner 代数,而且 Terwilliger 代数比 Bose-Menser代数大得多,它包含更多局部结构的有关信息;当(P和Q)-多项式结合方案是薄的,Leonard系统理论可以从代数角度分析这个结合方案的局部结构.在参考文献[25]中,Terwilliger给出了一些Leonard系统是薄的(P和Q)-多项式结合方案的例子.Johnson方案J(N,D)(2D≤N)就是其中之一.设(?)是 Johnson 方案J(N,D)(2D≤N)[2,第33章,第2节:给定集合Ω(|Ω|=N),且定义对于一个固定的基本点x0∈X,设T=T(x0)是X的Terwiiliger代数.设V=CX是关于T的标准模.因为T是半单代数且V是忠实的T-模,则在同构的意义下,所有的不可约T-模都将作为T-子模的形式出现在K中.设W是V的不可约T-子模.则由一个W可得到一个Leonard系统LS(W),方法如下:不可约T-模W的同构类由Leonard系统LS(W)的同构类所确定,反之也成立[24].另外,Leonard系统LS(W)的同构类由参数均是非负整数的有序三元组(υ,μ,d)所确定[25,例6.1(1)],其中(υ,μ,d)满足:在本篇论文中,我们将会介绍有序二元组(α,β),其中α,是非负整数且满足并且我们建立了从三元组(υ,μ,d)到二元组(α,β)的双射.三元组(υ,μ,d)对于Leonard系统有一定的涵义.二元组(α,β)关于对称群的表示也具有一定的涵义.三元组(υ,μ,d)与二元组(α,β)之间的双射搭建了组合与代数表示论之间的桥梁.本篇论文的结构如下:在第一章,我们将会给出(P和Q)-多项式方案的定义并说明其重要意义.在第二章,我们将介绍图,结合方案,Bose-Mesner代数,Terwilliger代数,P/Q-多项式结合方案,Leonard系统的基本概念.在第三章,我们将讨论Johnson方案J(N,D)关于Terwilliger代数的不可约模,并建立了 一个从三元组(υ,μ,d)到二元组(α,β)的双射.
【学位授予单位】：安徽大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2017
【分类号】：O157

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本文编号：1302012