几种非线性系统的混沌动力学研究

发布时间：2020-11-13 21:30

　　 本文通过数值模拟研究了二维随机耦合Logistic映射、二维指数Logistic映射、二维调制耦合Logistic映射和分数阶立方映射等几类非线性系统的混沌动力学特征.第一章,介绍了混沌理论的发展历史、基本理论和基本知识,并简要介绍了本文研究的目的和意义,以及研究内容和创新点.第二章,通过数值模拟理论上分析了二维随机耦合Logistic映射的混沌特征.当系统的耦合系数满足两点分布时,本文从相图、Lyapunov指数的角度研究得出:当耦合系数按照一定的概率在混沌和非混沌区间跳跃时,系统可按周期分岔和Hopf分岔走向混沌.第三章,研究了高斯函数调制的指数Logistic映射的混沌特性.该映射具有多个自由度,这使其具有不同的混沌特性并且增加了在定量金融等模型中所需的灵活性.本章首先分析了映射不动点的稳定性;其次,利用分岔图、相图和Lyapunov指数图分析了系统的混沌行为.实验结果表明,在适当的参数空间内,指数Logistic映射能够产生混沌现象.此外,本章还研究了耦合指数Logistic映射的混沌现象.第四章,传统混沌映射具有参数范围较窄、遍历性较差等弱点,并且关于混沌动力学特征的研究大多仅考虑系统参数在定常空间内变化.针对这些特点,本章提出了一种调制耦合Logistic映射,主要思想是利用指数Logistic映射对传统Logistic映射进行调制,并将调制结果进行耦合得到二维系统.首先,与现有的混沌系统相比,二维调制耦合Logistic映射具有更好的遍历性;其次,本文理论上分析了二维调制耦合Logistic映射在定常参数空间内的动力学特征.结果表明,二维调制耦合Logistic映射可按照倍周期分岔和Hopf分岔进入混沌;最后,研究了参数随机化时系统的动力学行为.第五章,首先考虑具有分段常数元的立方映射,应用离散化过程对模型进行数值求解,得到了分数阶立方映射.通过Lyapunov指数和分岔图得出:分数阶立方映射可通过倍周期分岔进入混沌,并且较于整数阶形式下的立方映射,其混沌特征更加丰富.其次,为了更好的描述客观事物的运动规律,本章在立方映射表达式的基础上考虑其时滞性,应用离散化方法得到了分数阶时滞立方映射.结果显示,分数阶时滞立方映射所产生的混沌现象,分岔节点的参数值随着阶数发生变化.
【学位单位】：西华大学
【学位级别】：硕士
【学位年份】：2020
【中图分类】：O415.5
【部分图文】：

几种非线性系统的混沌动力学研究10图2.1系统（2.2）在取常数时的分岔图Fig.2.1Bifurcationgraphwithaconstantparameterinsystem(2.2)当参数空间为定常时，系统运动状态的变化虽然与一维Logistic映射有略微的不同，但都是可以产生混沌现象的．对于系统(2.2)，二维Logistic映射的动力学行为是由耦合系数决定的，为了更好地研究耦合系数对系统状态的影响，现将式(2.2)改写为211212()()nnnnnnnnnnxxxxyyyyyx,（2.3）其中，1，2为系统的耦合系数．实际上，当12且为确定性的常数时，系统(2.3)即为系统(2.2)，其相平面的轨道点关于yx对称．2.2数值模拟与主要结果文献[25]中研究了耦合系数在定常区间变化且12时二维Logistic映射的行为演化，但忽略了耦合系数受到扰动时系统的动力学行为．在耦合系数为定常时，系统(2.2)的动力学性态是确定的，如果进一步考虑环境等因素造成的耦合参数的随机波动，此时二维Logistic映射成为随机耦合系统，1，2称为随机耦合系数．为简单起见，考虑随机耦合系数1，2符合两点分布，其中一个取值在非混沌区间，另一个取值在混沌区间．对于系统(2.3)，选取初始点为00(x,y)(0.4,0.5)，概率值p0,1．以下将分别利用相图和Lyapunov指数图来研究二维随机耦合Logistic映射的混沌特征和演化规律．

几种非线性系统的混沌动力学研究12图2.2情形一时吸引子随参数p的演化Fig.2.2Theevolutionoftheattractorswithparameterspinthefirstcase观察奇怪吸引子的形成过程可以发现其具有以下特点：1）奇怪吸引子的结构不随参数连续的变化，即整体结构会发生瞬变；2）由于轨道的无穷伸长、压缩和折叠，导致奇怪吸引子空间结构十分复杂；3）奇怪吸引子不一定填满某一有限区域，而往往具有一些空隙或空洞的存在，这使得它具有无穷嵌套的自相似结构；4）从整体上来讲，系统是稳定的，即吸引子外的一切运动最后都要收缩到吸引子上；但就局部而言，吸引子内的运动又是不稳定的，相邻运动轨道要互相排斥而按指数分离．简单来说，奇怪吸引子简单来说就是相空间中无穷多个点的集合，是一种始终限于有限区域且轨道永不重复的、性态复杂的运动；它所具有的精细结构在所有尺度上都存在，甚至在无穷长时间极限下，吸引子也不会在相平面内形成一个实体．它呈现为不规则轨线，这些点、线对应系统的混沌状态．（2）Lyapunov指数分析借助1.2.2中提及的Jacobian矩阵法计算系统(2.3)的Lyapunov指数．二维Logistic映射可根据Lyapunov指数的符号来判断系统的状态：当12,,，系统表现为奇怪吸引子；

几种非线性系统的混沌动力学研究14随着概率的增大，系统点的密度虽然围绕极限环增加，但并没有形成封闭空间．在p1时，情形一下系统由最开始的周期点逐渐演变为简单吸引子，而在情形二下，系统一开始表现为极限环，最终的表现状态仍为极限环，而在中间状态表现为混沌特征．结合两种情况，总的来说，当系统处于混沌状态时，其运动从整体上来看是绕着一些大的空洞周而复始的运动，系统既不做规则运动也不是杂乱无章的，因此这种运动既表现出一定的随机性，但又不是完全随机的．既可以将混沌描述为不具有周期现象的有序运动，形象化得说就是系统奇怪吸引子随着参数变化时其运动轨迹不会重复也不会相交，反之混沌也可以描述为具有一定的规律的无序运动．图2.4情况二时吸引子随参数p的演化Fig.2.4Theevolutionoftheattractorswithparameterspinthesecondcase（2）Lyapunov指数分析图2.5为第二种情形下的指数图，相较于第一种情况，Lyapunov指数呈现三个特征：首先是指数在统计意义上具有对称性，这是由1，2的取值概率的对称性决定的；其次，从图中可见Lyapunov指数曲线基本符合12,(,)，即在0.1p0.9时，20恒成立，10几乎也恒成立．由第一章混沌理论知识可知，系统在参数空间内产生了较大的混沌区域；最后从图2.5中可见，指数在中间段的波动较两端大，其原因除了由于混沌区中包含了不同周期的周期窗口以外，主要在于参数1，2的随机波动性．假设a0.67，b0.58，则每一次迭代中随机变量取1a，2b的概率分别
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本文编号：2882675