基于拓扑导数的结构拓扑优化方法

发布时间：2021-01-09 14:12

　　本文介绍了拓扑导数的推导方法。证明Poisson问题拓扑导数表达式的有限元离散格式的一阶收敛,并给出了对应的数值例子。对平面弹性力学形状设计问题,计算出形状泛函的拓扑导数,利用结合拓扑导数的水平集方法实现平面弹性结构的拓扑优化,并与传统的水平集方法比较,发现结合拓扑导数的水平集方法更有效。 

【文章来源】： 吴泱煜 华东师范大学

【文章页数】：42 页

【学位级别】：硕士

【部分图文】：

原区域与扰动后区域θ

华东师范大学硕士学位论文x<ρ},得到扰动后的新区域ρ=\ˉBρ,原边值问题限制在新区域上的解记作uρ。图2.2挖洞后区域ρ考虑区域ρ上的目标泛函J(ρ)=J(uρ)。J(ρ)关于有如下形式的展开：J(ρ)=J()+g(x)f(ρ)+o(f(ρ)),其中f(ρ)是一个与孔洞半径ρ,以及问题的维数相关的正常数。展开式中函数g(x)提供了在x处挖洞后目标泛函的变化信息。我们将g(x)定义为目标泛函在上的拓扑导数。当目标泛函J随半径ρ变动的下述极限存在时，拓扑导数L也可以定义为:limρ→0J(ρ)J()|Bρ∩|,|Bρ∩|表示内区域Bρ的测度。值得注意的是存在目标泛函使得上述极限不存在，例如：J=ds.在下章可以看到不同的拓扑导数表达式的推导方法是从不同角度的拓扑导数定义出发。区域截断方法和级数展开方法从拓扑导数的第一种定义出发。拓扑-形状灵敏度方法则是由拓扑导数的第二种定义出发。5

第三章拓扑导数的推导方法3.1区域截断法图3.1区域截断方法图示在拓扑导数的定义中，目标函数中随ρ变动，包括边值问题解uρ和积分区域ρ的变动。区域截断法有效简化了由于这种拓扑扰动带来的计算复杂性。区域截断法的思想是将变化的区域ρ拆成两部分R和r，将拓扑导数的计算转移到固定边界BR上。对一定值R满足R>ρ，如图3.1记以x为圆心，半径为R,ρ的圆分别为BR,Bρ。定义R=\ˉBR,ρ=\ˉBρ,r=ρ\R是以x为中心的环状区域。以Poisson问题为例，找解uρ:ρ→R满足uρ=0inρ,uρ·n=FonΓN,uρ=0onΓD,uρ·n=0onBρ.(3.1)定义边界BR上的函数映射Tρ:H1/2(BR)→H1/2(BR)，Tρ(ψ)=vψρnBR.7


本文编号：2966805