关于时间-空间分数阶扩散方程的预处理方法研究与探索

发布时间：2021-03-21 05:18

　　由于分数阶导数的非局部性质,它可以很好地用来描述物理中的一些非正常扩散现象,故而基于分数阶导数的模型近些年来被越来越多地应用于科学和工程计算领域.但也正是因为分数阶导数的非局部性质,离散后得到的代数方程组往往是稠密的,当问题规模较大时,这给数值求解带来了非常大的困难.传统整数阶微分方程的快速算法不再适用于分数阶微分方程.近年来,针对分数阶扩散方程的快速算法的研究受到了越来越多的关注.本文的主要研究内容如下:（1）我们考虑了时间-空间分数阶扩散方程的预处理快速算法,通过时间上的Grunwald差分方法离散和空间上的带平移Grunwald差分方法离散,并经过整理,原问题最终转化为一个大规模的代数方程组,其系数矩阵可表示为两个Kronecker乘积之和.（2）基于系数矩阵的特殊结构,我们结合Toeplitz矩阵求逆方法构造了一类块对角预处理子,并进行了理论分析.数值实验表明,当时间分数阶导数较小时,比如不超过0.5时,该预处理子具有很好的加速效果.（3）观察到系数矩阵由两部分组成,而且每一部分都具有特殊的结构,因此我们提出了一类基于交替方向思想的矩阵分裂预处理子,并对其进行了理论分析.在具体... 

【文章来源】：华东师范大学上海市 211工程院校 985工程院校 教育部直属院校

【文章页数】：55 页

【学位级别】：硕士

【文章目录】：
摘要
Abstract
第一章 引言
    1.1 问题介绍
    1.2 研究现状
    1.3 本文工作
第二章 准备工作
    2.1 分数阶导数
    2.2 Toeplitz矩阵和循环矩阵及其快速算法
    2.3 Toeplitz矩阵的循环矩阵近似
    2.4 Toeplitz直接求逆
第三章 时间-空间分数阶扩散方程的数值离散
    3.1 有限差分离散
    3.2 代数方程组的结构
第四章 时间-空间分数阶扩散方程的预处理方法
    4.1 循环矩阵近似预处理方法
    4.2 基于Toeplitz求逆的块对角预处理
    4.3 基于循环近似的交替方向预处理
    4.4 基于Teoplitz直接求逆的交替方向预处理
第五章 总结与展望
参考文献
致谢



本文编号：3092400