几类非线性微分方程的双线性与对称及其解析解的研究
发布时间：2021-09-04 23:51
众所周知,非线性微分方程解析解和对称的研究一直是热门课题,这些研究有助于解释一些重要的物理现象.本文以几类非线性微分方程为研究对象,基于Bell多项式和Hirota双线性方法构造几种不同的解析解,并且分析这些解的传播特点;借助对称理论和Painlev′e截断展开法,建立方程的非局域对称及守恒律.第一章,简要介绍了孤立子理论知识及相关方法的研究背景及意义,并给出了本文将要研究的主要内容.第二章,首先介绍了Hirota双线性导数和Bell多项式的一些预备知识,然后成功得到了（3+1）维Kadomtsev-Petviashvili（KP）方程的双线性表达式,并且找到了该方程的孤子解.借助获得的双线性形式,通过发展homoclinic呼吸测试法,分别构造了（3+1）维KP方程和（3+1）维广义非线性方程的呼吸波解及怪波解.此外,我们发现一种有趣的现象,即在某种特定条件下,呼吸波解是可以退化成为怪波解的.第三章,基于Hirota双线性方法获得了广义（3+1）维Kadomtsev-PetviashviliBoussinesq（KP-Boussinesq）方程、（2+1）维Korteweg-de V...
【文章来源】：中国矿业大学江苏省 211工程院校 教育部直属院校
【文章页数】：103 页
【学位级别】：硕士
【部分图文】：
–1方程(2.1)在参数条件1=1=1====1,1=0.5,====
硕士学位论文把(1)代入方程(2.27),有(2)=1+2+12.(2.35)当=1时,可有2=1+1+2+1+2+12.(2.36)综上,方程(2.1)的2-孤子解为(,,,)=2[ln(1+1+2+1+2+12)],(2.37)且满足=++++,(=1,2),=1(4+2+2+2+++),(=1,2),12=(12)(12)+(12)4+(12)2+(12)2+(1(1+2)(1+2)+(1+2)4+(1+2)2+(1+2)2+(1+2)2+(12)(12)+(12)(12)+(12)(12)2)2+(1+2)(1+2)+(1+2)(1+2)+(1+2)(1+2).(2.38)图2–2方程(2.1)在参数条件1=2=0.8,1===1,1======0.1,=0.2,2==0.3,2=0.4,1=1,2=2下所对应的2-孤子解(2.37)的图像,其中()立体图;()俯视图;()沿轴的波传播形式.Figure2–2Two-solitonsolution(2.37)forEq.(2.1)bychoosingsuitableparameters:1=2=0.8,1===1,1======0.1,=0.2,2==0.3,2=0.4,1=1,2=2.()Perspectiveviewoftherealpartofthewave.()Theoverheadviewofthewave.()Thewavepropagationpatternofthewavealongthe-axis.为了更好的理解方程(2.1)的孤子解的动态行为,我们通过选取合适的参数作图2-1和图2-2.2.3.3呼吸波解为了构造方程(2.1)的呼吸波解,首先考虑变换=0+2[ln()],(2.39)10
硕士学位论文12=12[2+2+(21)+2+22+120+(21)],21=4442142+414+41240162222+2+260+422.(2.44)方程(2.42)又可以被重写为另一种形式=2√2cosh[(+1)+12ln2]+1cos[(++2)],(2.45)再把方程(2.45)代到方程(2.39),得到方程(2.1)的homoclinic呼吸波解(,,,)=0+22[4221+41√2sinh(1+12ln2)sin(2)][2√2cosh(1+12ln2)+1cos(2)]2,(2.46)其中1=(+1),2=(++2).显然,方程(2.46)中的是homoclinic呼吸波,并且当→∞,0将会趋向于一个固定的点,此时是homoclinic波.同时,值得注意的是homoclinic呼吸波是homoclinic波和呼吸波相互作用的结果.为了更好的理解其特点,选取两组参数作图2-3和图2-4.如下图所示,homoclinic呼吸波的传播具有周期性,不仅沿着时间轴周期性传播而且在空间中也是周期性传播.图2–3方程(2.1)在参数条件0=18,1=1.2,2=1.3,1=0.6,2==0.3,====1下所对应的homoclinic呼吸波解(2.46)的图像,其中()立体图;()俯视图;()沿轴的波传播形式.Figure2–3Homoclinicbreatherwavesolution(2.46)forEq.(2.1)bychoosingsuitableparameters:0=18,1=1.2,2=1.3,1=0.6,2==0.3,====1.()Perspectiveviewoftherealpartofthewave.()Theoverheadviewofthewave.()Thewavepropagationpatternofthewavealongthe-axis.2.3.4怪波解考虑2=1,即ln2=0,则解(2.46)重新被表示为=0+22(421+41sinh[(+1)]sin[(++2)])(2cosh[(+1)]+1cos[(++2)])2.(2.47)12
【参考文献】：
期刊论文
[1]A KdV-Type Wronskian Formulation to Generalized KP, BKP and Jimbo–Miwa Equations[J]. 程丽,张翼. Communications in Theoretical Physics. 2017(07)
[2]孤立子理论研究的意义[J]. 赵蓉. 知识经济. 2010(07)
[3]Bcklund transformation, non-local symmetry and exact solutions for （2+1）-dimensional variable coefficient generalized KP equations[J]. Zhenya YAN Institute of Mathematical Science, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China; e-mail: zhanghq@dlut. edu.cn. Communications in Nonlinear Science & Numerical Simulation. 2000(01)
博士论文
[1]光孤子传输特性的解析研究[D]. 周勤.武汉大学 2014
[2]非线性微分方程的若干解析解方法与可积系统[D]. 田守富.大连理工大学 2012
硕士论文
[1]几类非线性微分方程的非局域对称和有理解及其演化特征的研究[D]. 董敏杰.中国矿业大学 2019
[2]非线性微分方程的可积性与保对称离散格式的研究[D]. 马潘丽.中国矿业大学 2016
本文编号：3384244
【文章来源】：中国矿业大学江苏省 211工程院校 教育部直属院校
【文章页数】：103 页
【学位级别】：硕士
【部分图文】：
–1方程(2.1)在参数条件1=1=1====1,1=0.5,====
硕士学位论文把(1)代入方程(2.27),有(2)=1+2+12.(2.35)当=1时,可有2=1+1+2+1+2+12.(2.36)综上,方程(2.1)的2-孤子解为(,,,)=2[ln(1+1+2+1+2+12)],(2.37)且满足=++++,(=1,2),=1(4+2+2+2+++),(=1,2),12=(12)(12)+(12)4+(12)2+(12)2+(1(1+2)(1+2)+(1+2)4+(1+2)2+(1+2)2+(1+2)2+(12)(12)+(12)(12)+(12)(12)2)2+(1+2)(1+2)+(1+2)(1+2)+(1+2)(1+2).(2.38)图2–2方程(2.1)在参数条件1=2=0.8,1===1,1======0.1,=0.2,2==0.3,2=0.4,1=1,2=2下所对应的2-孤子解(2.37)的图像,其中()立体图;()俯视图;()沿轴的波传播形式.Figure2–2Two-solitonsolution(2.37)forEq.(2.1)bychoosingsuitableparameters:1=2=0.8,1===1,1======0.1,=0.2,2==0.3,2=0.4,1=1,2=2.()Perspectiveviewoftherealpartofthewave.()Theoverheadviewofthewave.()Thewavepropagationpatternofthewavealongthe-axis.为了更好的理解方程(2.1)的孤子解的动态行为,我们通过选取合适的参数作图2-1和图2-2.2.3.3呼吸波解为了构造方程(2.1)的呼吸波解,首先考虑变换=0+2[ln()],(2.39)10
硕士学位论文12=12[2+2+(21)+2+22+120+(21)],21=4442142+414+41240162222+2+260+422.(2.44)方程(2.42)又可以被重写为另一种形式=2√2cosh[(+1)+12ln2]+1cos[(++2)],(2.45)再把方程(2.45)代到方程(2.39),得到方程(2.1)的homoclinic呼吸波解(,,,)=0+22[4221+41√2sinh(1+12ln2)sin(2)][2√2cosh(1+12ln2)+1cos(2)]2,(2.46)其中1=(+1),2=(++2).显然,方程(2.46)中的是homoclinic呼吸波,并且当→∞,0将会趋向于一个固定的点,此时是homoclinic波.同时,值得注意的是homoclinic呼吸波是homoclinic波和呼吸波相互作用的结果.为了更好的理解其特点,选取两组参数作图2-3和图2-4.如下图所示,homoclinic呼吸波的传播具有周期性,不仅沿着时间轴周期性传播而且在空间中也是周期性传播.图2–3方程(2.1)在参数条件0=18,1=1.2,2=1.3,1=0.6,2==0.3,====1下所对应的homoclinic呼吸波解(2.46)的图像,其中()立体图;()俯视图;()沿轴的波传播形式.Figure2–3Homoclinicbreatherwavesolution(2.46)forEq.(2.1)bychoosingsuitableparameters:0=18,1=1.2,2=1.3,1=0.6,2==0.3,====1.()Perspectiveviewoftherealpartofthewave.()Theoverheadviewofthewave.()Thewavepropagationpatternofthewavealongthe-axis.2.3.4怪波解考虑2=1,即ln2=0,则解(2.46)重新被表示为=0+22(421+41sinh[(+1)]sin[(++2)])(2cosh[(+1)]+1cos[(++2)])2.(2.47)12
【参考文献】：
期刊论文
[1]A KdV-Type Wronskian Formulation to Generalized KP, BKP and Jimbo–Miwa Equations[J]. 程丽,张翼. Communications in Theoretical Physics. 2017(07)
[2]孤立子理论研究的意义[J]. 赵蓉. 知识经济. 2010(07)
[3]Bcklund transformation, non-local symmetry and exact solutions for （2+1）-dimensional variable coefficient generalized KP equations[J]. Zhenya YAN Institute of Mathematical Science, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China; e-mail: zhanghq@dlut. edu.cn. Communications in Nonlinear Science & Numerical Simulation. 2000(01)
博士论文
[1]光孤子传输特性的解析研究[D]. 周勤.武汉大学 2014
[2]非线性微分方程的若干解析解方法与可积系统[D]. 田守富.大连理工大学 2012
硕士论文
[1]几类非线性微分方程的非局域对称和有理解及其演化特征的研究[D]. 董敏杰.中国矿业大学 2019
[2]非线性微分方程的可积性与保对称离散格式的研究[D]. 马潘丽.中国矿业大学 2016
本文编号：3384244
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