基于后验误差估计的自适应有限元算法研究

发布时间：2022-07-09 19:43

　　在工程与科学计算中,偏微分方程可以用来描述许多的实际问题.然而,大多数偏微分方程是没有或很难获得精确解,只能通过适当的数值方法求它的近似解.而数值计算一般都会存在误差,因此,不仅近似解很重要,误差分析也非常重要,即精确解和近似解之间的差的范数.而准确的误差经常是未知的,这就意味着我们只可以获得一些误差的估计量.很多情况下,获得效率高、计算可实现的后验误差估计是非常困难的.而自适应算法对后验误差估计有很强的依赖性,这类算法是通过后验误差估计的计算结果,选择最佳离散方法,用尽可能少的计算量来获得较高精度的解.自适应有限元方法在最近几十年迅速发展,因为它可以根据误差的大小,找出最大的误差结构并对其进行网格加密技术处理,有效地提高了计算效率,通过计算所得到的误差来提高解的精度,因此,得到了工程界的高度认可.本文以具有代表性的椭圆型方程为研究对象,首先,分别给出了基于分层基型与恢复型两种后验误差估计,通过数值实验我们发现任意一种后验误差估计的结果可能会存在偏差进而影响网格的协调性,因此,我们把前面所介绍的两种后验误差估计的加权平均值作为新的后验误差估计子,充分利用两种后验误差估计所得到的信息,适... 

【文章页数】：66 页

【学位级别】：硕士

【文章目录】：
摘要
Abstract
1 引言
    1.1 有限元方法
    1.2 后验误差估计
    1.3 自适应有限元方法
    1.4 文章的结构安排
2 预备知识
    2.1 Sobolev空间及其范数
    2.2 常用的定理与不等式
    2.3 网格剖分
        2.3.1 三角剖分
        2.3.2 正则剖分
    2.4 网格的细化和粗化
    2.5 本章小结
3 有限元理论与后验误差估计
    3.1 Galerkin方法及有限元离散格式
    3.2 有限元逼近解
    3.3 有限元空间
    3.4 有限元的基本理论和解题步骤
    3.5 模型问题及其离散化
    3.6 后验误差估计
        3.6.1 残差型后验误差估计
        3.6.2 分层基(Hierarchical Base)型后验误差估计
        3.6.3 恢复型后验误差估计
    3.7 本章小结
4 自适应有限元算法
    4.1 标记
    4.2 二分法网格调整
    4.3 最新顶点二分法加密
    4.4 网格粗化算法
        4.4.1 传统的粗化算法
        4.4.2 相容的二分法与良好的粗化节点
        4.4.3 相容标记网格上存在良好节点
    4.5 数据结构
        4.5.1 基本的数据结构
        4.5.2 排序问题
        4.5.3 辅助的数据结构
    4.6 实例验证
        4.6.1 算例一:区域中心有奇性
        4.6.2 算例二:区域角点有奇性
        4.6.3 算例三:真解已知
        4.6.4 实验三:真解未知
    4.7 本章小结
5 总结与展望
    5.1 总结
    5.2 展望
致谢
参考文献
攻读学位期间主要研究成果


【参考文献】：
期刊论文
[1]对一维守恒律的一种局部时间步长自适应网格方法(英文)[J]. 谭志军,黄云清.  湘潭大学自然科学学报. 2003(02)

硕士论文
[1]半线性椭圆方程基于梯度重构的后验误差估计及自适应有限元方法[D]. 李晓娟.湘潭大学 2019
[2]椭圆方程基于梯度重构的后验误差估计及自适应有限元方法的收敛性分析[D]. 刘英.湘潭大学 2018
[3]变系数椭圆问题的后验误差估计及自适应有限元方法[D]. 王利强.湘潭大学 2011
[4]一种基于有限元方法的后验误差估计[D]. 刘作雄.湖南师范大学 2009
[5]一种基于新的后验误差估计的自适应有限元方法及其应用[D]. 潘军.湘潭大学 2009



本文编号：3657702