拓扑动力系统及其诱导空间的回复及敏感性质研究

发布时间：2016-10-26 06:57

遍历理论主要研究概率空间在保测变换作用下的性质.遍历(ergodic)—词是由物理学家Boltzman引入的.在统计力学中,他提出了著名的"遍历假设",即一个系统的时间平均等于空间平均.我们知道一般情况下遍历假设是不成立的,现在通常把满足遍历假设的系统称为遍历系统.遍历理论起始于PoincarS回复定理,Birkhoff逐点遍历定理和VonNeumann平均遍历定理.进一步发展则是在上个世纪尤十年代Furstenberg和Zimmer分别得到了遍历系统的结构定理.现在遍历理论己经成为一个具有旺盛生命力的研究领域,并且在其它学科研究中有着广泛的应用.拓扑动力系统和遍历理论是两个不同的分支,这两妾理论的技巧方法大多没有之处,但两者之间又同时有着非常惊人的平行性.一方面,动力系统上一定存在不变概率测度,从而可看作是一个保测动力系统;另一方面,任意遍历系统都一个模型.它们之间还有很多照应的概念,如极小与遍历性,等度连续与离散谱,拓扑楠与测度巧等.这一切使得我们可把巧历理论作为研究拓扑动力系统的一个重要工具

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第二章预备知识

2.1动力系统基础

文献[98,53]指出二分定理对平均情形也成立,即,对任何传递系统,它要么是平均敏感的(或Banach平均敏感的),要么是几乎平均等度连续的(或几乎Banach平均等度连续的);对任何极小系统,它要么是平均敏感的(或Banach平均敏感的),要么是平均等度连续的(或Banach平均等度连续的).自然地,Tu在文[131]中提出:对任何系统,极小倩形的平均二分性是否仍然成立?遗憾地是答案是否定的.事实上,定理中选取的系统即为合适的反例.但是我们注意到,如果加强系统为强传递系统,极小情形的平均二分性定理则是成立的.这里称一个动力系统化r)是强传递的是指对任意非空开集,存在一个传递点有正下密忠

2.2Furstenberg族和Ellis半群

局部化等度连续性的概念我们不难得到等度连续点和几乎等度连续系统的定义.众所周知,对任意极小系统,它要么是初值敏感的,要么是等度连续的对任意传递系统,它要么是初值敏感的,要么是几乎等度连续的[4].Glasner和以及Huang和Ye[72]分别说明当极小系统弱化到任意E系统时,对应的二分定理仍然成立.Li等人[98]和Garda-Ramos[53]分别指出上述平均形式的敏感与等度连续性质,对传递和极小系统同样满足类似的二分定理.在文中自然地提出:如果把极小系统弱化到任意系统,相应的平均形式二分定理是否仍然成立?这一章我们将否定地回答这个问题.除此之外,这一章中我们还将研究平均敏感性与余有限敏感敏感性以及其他常见之间的关系?

第三章有限和可数可扩动力系统及其应用..........33

3.1定义和基本性质..........34
3.2正向有限和可数可扩动力系统的层次结构..........38
第四章初值敏感系统的平均形式..........53
4.1平均敏感性与余有限敏感性的关系..........53
4.2平均敏感性与混沖性质的关系..........57
第五章超空间上的回复及敏感性质..........71
5.1基本概念及性质..........72
5.2逐点回复情形............73

第五章超空间上的回复及敏感性质

5.1基本概念及性质

例如,1975年,Bauer和Sigmund[20]第一次系统地研究了超空间动力系统与其底空间动力系统之间关于传递性,混合性,可扩性,拓扑搁等诸多动力学性质的联系.特别地,他们指出超空间上的传递性可遗传到底空间,反之不然;各种混合性质(如弱混合,mild混合,强混合等)及等度连续性质在底空间与超空间上等价;底空间有正拓扑楠蕴含超空间有无穷拓扑煽.Glasner和eiss[58]构造了一个极小零俯系统但超空间拓扑为正的例子.Banks[18]观察到在超空间上传递性与弱混合性等价.Garda-Guirao等人[52]系统地讨论了底空间与超空间各种混沖性质么间的关系.最近Li[96]给出了超空间是Devaney混淹的等价刻画.不熟悉超空间的读者可参考著作[78,115].

5.2逐点回复情形

本章我们继续研究超空间与底空间之间的关系,并重点关注超空间上的一些回复及敏感性质.表5.1概括了超空间满足一些回复性质的等价刻画.特别地,我们找到了最后一个等价刻画在不交性问题上的应用,指出具有稠密distal集的弱泥合系统是不交于所有极小系统的.这部分回答了沃尔夫stenberg的不交性问题,是这方面研究的最优结果.
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第六章概率测度绣导空间上的回复及敏感性质

对于一个动力系统(x.r),我们一般关注由它自然诱导的两类相对重要的动力系统:一类是第五章研究的超空间诱导系统,还有一类就是概率测度诱导系统,其中是状态空间X上概率测度的全体,为由7诱导的的连续变换.类似地,我们关于概率测度诱导系统与底空间动力系统之间动力学性质有何关系?以及如何刻画率测度空间满足一些特殊的动力学性质?关于概率测度诱导系统的研究有很多非常深刻且有意思的结果.例如 ,Bauer和Sigmund[20]第一次系统地研究了概率测度诱导空间与其底空间之间关于传递性,混合性,可扩性,拓扑等诸多动力学性质的联系.特别地,他们指出M(X)上的传递性可遗传到底空间X中,反之不然;各种混合性质(如弱混合,mild混合,强混合等)在X与Af(X)上相互等价;及X有正拓扑摘蕴含AfpO有无穷拓扑瓶Glasner和以eiss进一步证明X是零俯系统当且仅当是零煽系统.Ken?和Li[82,83]指出对null系统和tame系统也有类似的.结论.Shao[126}观察到在M(X)上传递性与弱混合性质等价.不熟悉概率测度诱导空间的读者可参考著作[34,119]。

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参考文献（略）

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本文编号：153548