中国高考录取与博士生录取的机制设计

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第 9 卷第 1 期 2009 年 10 月

经 济 学 ( 季 刊) China Eco nomic Quarterly

中国高考录取与博士生录取的机制设计
摘　 　 要 学校录取机制问题是一个教育界广泛讨论的话题 。本

文探讨了目前高考录取平行志愿制度的优点和缺陷 , 提出降低投档 比例 、打通不同院

校之间的专业志愿和增加志愿个数可以改进学生 的效用损失 。而博士生录取是另外一种类型的非统一录取学校录取 机制问题 , 本文设计了一种偏好顺序机制 , 并证明了这种机制是满 现实中运用该机制的具体措施 。

足公平 、无浪费 、个人理性 、抗策略且帕累托最优的 , 最后提出在 　　 关键词 　 学校录取问题 , 机制设计 , 帕累托最优

一 、 　　 引 言

学校录取机制问题是一个教育界广泛讨论的话题 。它主要分析在学校招 生名额有限的情况下 , 如何将有限的招生名额合理地分配给报考的学生 。学 校往往会根据多种条件来挑选学生 , 最主要的条件有入学考试分数 、平时的 成绩和表现 、获奖情况等 。而学生在报考的时候也会综合考虑学校的名气 、 综合排名 、学科排名和所在城市等 。在考虑这些偏好的情况下 , 如何设计一 个让学校和学生都满意的录取机制成为一个很有意义的话题 。 高考志愿填报制度改革是高考招生制度改革的重要组成部分 。教育部
2008 年开始在全国推广平行志愿录取制度 。从填报时间顺序来看 , 平行志愿

制度可分为考前平行志愿 、考后估分平行志愿和考后出分平行志愿三种 。从 平行志愿的个数来看 , 湖南省 、江苏省和浙江省第一个批次设 3 个平行志愿 , 上海市第一个批次设 4 个平行志愿 。

除了高考录取制度 , 另一类型的录取制度就是以我国博士生招生制度为
3 厦门大学王亚南经济研究院 。通信地址 : 福建省厦门市厦门大学王亚南经济研究院博士生信箱 , 361005 ; 电话 : (0592) 2573015 ; E2mail :wendyeye @gmail . co m 。作者感谢中国人民大学经济学院承办的 教育部 “企业理论前沿与中国制度变迁” 研究生暑期学校提供学习机会 ,以及明尼苏达大学经济系钟创修

副教授提供的机制设计课程讲义和参考文献 。厦门大学王亚南经济研究院方颖老师以及杨广亮和苏佳 同学的评论对本文亦有贡献 。作者同时非常感谢两位匿名审稿人中肯的修改意见 。当然 , 文责由作者 自负 。

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Vol1 9 , No1 1 Octo ber , 2009

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代表的非统一录取制度 , 其特点是各高校自主命题 、自主划线 、自主录取 , 各校之间不存在一个统一的录取过程 。实际上 , 考生普遍采取报考多所学校 的策略来降低博士生招考的风险 。在被多个大学录取的情况下 , 考生最后会 拒绝某些高校的拟录取 , 这往往会导致一部分录取名额的浪费 。 本文从两个方面对学校录取机制做了研究 。首先 , 分析了我国高考平行 志愿录取制度的性质和优缺点 , 重点研究了平行志愿的志愿个数和志愿填报 方式等方面的问题 , 并为目前平行志愿制度的改进提出了三点建议 。其次 , 本文将我国的博士生录取机制作为一个学校录取问题来研究 , 基于对传统学 校录取机制理论的分析和创新 , 提出了在非统一和单次录取限制条件下的新 录取机制 。 本文分成六个部分 : 第一部分是引言 , 第二部分是学校录取问题的理论 和文献的回顾 , 第三部分介绍学校录取机制的基本原理 , 第四部分讨论目前 高考平行志愿录取机制的优缺点和改进构想 , 第五部分讨论非统一录取的学 校录取机制 , 第六部分是结论和讨论 。

二、 理论及文献回顾
学校录取的问题从古代学校产生的年代就被提了出来 , 经过多年的演变 和应用自 发 形 成 了 多 种 学 校 录 取 机 制 , 包 括 波 士 顿 机 制 等 ( Ergin and S nmez , 2006) 。首先将学校录取问题作为一个机制设计问题来研究的是 Gale and Shapley ( 1962) , 他们在这篇经典论文中提出了 Gale2Shapley 机制 , 证明了这种机制总是稳定并且帕累托最优的 , 并把 Gale2Shapley 机制运用到 婚姻问题和学校录取问题的研究上 。 学校录取机制中的另一个重要问题是其抗策略的性质 ( 聂海峰 ( 2007 ) 将其翻译为抗操纵 ) 。Dubins and Freedman ( 1981 ) 证明了 Gale2Shapley 机 制是 抗 策 略 的 。在 此 之 后 , Rot h ( 1982a , 1982b ) 、Balinski and S nmez ( 1999) 和 A bdulkadiroglu and S nmez ( 2003) 的一系列论文较全面地讨论了
Gale2Shapley 机制的帕累托最优和稳定性等问题 。

ley 机制 。但是受到时间 、人力 、财力的限制 , 在学校录取领域往往无法完全

运用最理想的机制来进行招生 。特别是在计算机还没有普及使用的年代 , 过 于复杂的机制算法不但使教育主管机构无法承受 , 更容易在操作过程中产生 错误 。因此 , 国外和国内经常应用的学校录取机制都是算法最为简便的波士 顿机制 , Gale2Shapley 机制在学校录取问题方面仅仅停留在理论阶段 。 Gale2Shapley 机制并不是唯一可以达到帕累托最优的学校录取机制 , Sha2 pley and Scarf ( 1974 ) 在其分析住房市场的论文中首先提出了最优交易循环 机制的思想 。Rot h and Po stlewaite ( 1977 ) 在其分析住房分配市场分配的论

Rot h ( 1984) 发现美国的实习医生进入医院的分配方式类似 Gale2Shap 2

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一次成为热点问题 , 一些学校录取机制理论开始运用到实际中来 , 包括香港 的大学录取制度 、纽约和波士顿地区的高中录取制度等 。 A bdulkadiroglu and S nmez ( 2003) 扩展了最优交易循环机制 , 并证明 了该机制也是帕累托最优和抗策略的 , 还讨论了在约束条件下两种最优机制 的运用 。Abdulkadiro glu 在 2005 年又连续发表了两篇论文分别介绍了最优机
1 制在纽约地区和波士顿地区实际运用的情况 。 在其后的论文中 , Abdulkad2 iroglu 等人运用波士顿 ( Abdulkadiroglu , Pat hak , Rot h and S nmez , 2006 )

ley 机制和最优交易循环机制 , 得出的结论是后两种机制要远优于波士顿机

异的原因可能在于学生对两种机制的理解程度存在差异 。 Zho u ( 1990) 证明了按某一种次序对学生进行排序的独裁机制是帕累托

最优和抗策略的 。聂海峰 ( 2007) 认为现行的中国高考平行志愿是一种分数 独裁机制 , 这种机制对原有的机制是一种帕累托改进 , 并给出分数独裁机制 的算法 。

学校录取名额 = { qC1 , qC2 , qC3 , …, qCn } ; T Ci = 学校 Ci 对学生 S 的评价集 =

上学 。

1 Abdulkadiroglu 和 S nmez 等人发表的文章中 , 研究的问题为择校问题 ( school choice problem) 。Ab2 dul kadiroglu 和 S nmez 认为择校问题与学校录取问题的区别在于 , 择校问题中学校仅仅相当于学生消 费的物品 ,学校没有自己的不同偏好 ; 而在学校录取问题中 ,学校可以对学生有自己的不同偏好 。择校问 题是学校录取问题的一个特例 ,机制算法相同 ,本文将择校问题包含在学校录取问题内一并讨论 。

制 , 但 Gale2Shapley 机制在实际运用中效果最好 。两种最优机制实际运用差

文中把它归纳为最优交易循环 ( Galeπs Top t rading cycles) 机制 。

随着 20 世纪 90 年代以来计算机的不断普及使用 , 学校录取机制理论又

和纽约市 ( Abdulkadiroglu , Pat hak and Rot h , 2008) 改进机制前后的录取数

据对新机制的福利改进进行了分析 。 Chen and S nmez ( 2006) 用实证的方法比较了波士顿机制 、 Gale2Shap 2

三、 学校录取问题的基本原理

( 一) 学校录取问题的概念

　　 学校录取问题可以用以下数学表达来表示 :

S = 学生集 = { S 1 , S 2 , S 3 , …, S m } ; C = 学校集 = { C1 , C2 , C3 , …, Cn } ; Q =

{ T Ci ( S 1 ) , T Ci ( S 2 ) , T Ci ( S 3 ) , …, T Ci ( S m ) } ; P = 学生对学校的偏好集 = { PS 1 ,

PS 2 , PS 3 , …, PS m } , 其中 PS k 为学生 S k 对 C ∪ C0 } 的偏好排序 , 其中 C0 为不 {

定义 1 　 匹配 μ: S →C ∪ C0 } , 满足 Π Ci , | μ- 1 ( Ci ) | ≤qCi 。 {

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定义 2 　 机制 M : P → 所有的匹配 μ。 定义 3 　匹 配 μ 是 公 平 的 ( fair ) 2 : 如 果 Π S 1 , S 2 , Ci = μ ( S 1 ) , μ( S 1 ) PS2μ( S 2 ) ] T Ci ( S 1 ) > T Ci ( S 2 ) 。
2

注释 : 如果对于任意的学生 S 1 、S 2 , S 2 更偏好于录取 S 1 而没有录取他 的学校 Ci , 则 Ci 对 S 1 的评价一定高于对 S 2 评价 。
]

注释 : 对于任意学生 S k 和学校 C i , 如果学生 S k 更偏好于没有录取他的 学校 C i , 则 Ci 一定已经录满了 q Ci 个学生 。

　　 学校录取问题 ( school admissio n p ro blem) : 是否能找到一个机制 M , 使 其满足公平 、无浪费 、个人理性 、抗策略且对于学生是帕累托最优的 ?
( 二) 四种学校录取机制的区别和特点

类机制的特点是 , 通过算法使学生在各学校的考虑名单中循环 , 在算法结束 以后都能得到一个满足公平性 、无浪费 、个人理性 、抗策略且帕累托最优的

聂海峰 ( 2007) 给出的公平定义包含了本文的公平和无浪费两个独立的定义 。然而 , 录取机制是完全可 以只满足公平和无浪费中的一个性质的 , 本文命题 3 、 命题 4 证明了这一点 。

目前学术资料中得到研究的有四种学校录取机制 , 包括 Gale2Shapley 机 制 、最优交易循环机制 、波士顿机制和分数独裁机制 。本文根据他们算法的 不同将其划分为两种类型 : 循环完备学校录取机制和单次效率学校录取机制 。 循环完备学校录取机制包括 Gale2Shapley 机制和最优交易循环机制 , 这

定义 5 　 匹配 μ是个人理性的 ( individually rational ) : Π S k , μ( S k ) RS k C0 ; 其中 A RS k B Ζ A PS k B 或者 A = B 。 注释 : 对于任意的学生 S k , 所有的匹配一定好于或等于没有学校可去 。

人不采取策略时的机制 。 注释 : 对于任意学生的真实偏好和策略偏好 , 机制总会使报告真实偏好 的结果好于或等于报告策略偏好的结果 。学生报告策略偏好的原因是他们相 信报告策略偏好会使录取结果好于报告真实偏好 。 定义 7 　 匹配 μ对学生是帕累托最优的 ( Pareto efficient ) : 不存在另一个 匹配 μ 满足 Π S k , μ ( S k ) R S kμ( S k ) , ? S l , μ ( S l ) PS lμ( S l ) 。 ′ ′ ′ 注释 : 对于任意的学生 , 不存在另一个匹配 μ 可以对μ 做帕累托改进 。 ′

定义 6 　机 制 M 是 抗 策 略 的 ( st rategy2p roof ) : 如 果 Π PS k , Π S k , Π P′, M ( P) R S k M ( P′, P - S k ) , 其中 M ( P′, P - S k ) 表示 S k 采取策略而其他 Sk Sk Sk

定义 4 　 匹配 μ是无浪费的 ( non2wasteful ) : 如果 Π S k , Π Ci , Ci P S kμ( S k ) - 1 | μ ( Ci ) | = qCi 。

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算法 。 单次效率学校录取机制包括波士顿机制和分数独裁机制 , 其特点是学校 只会顺序考虑每个学生的志愿 , 若录取名额未用完则一次性录取学生 , 录取 算法比较简单 , 录取过程效率很高 。波士顿机制既不是公平的 , 也不是帕累 托最优和抗策略的 。但是波士顿机制是算法最简单 、分配学生效率最高的一 种算法 , 波士顿算法最多仅需要 n 步即可完成整个算法 , 因此在计算机普及 使用之前被广泛地运用于学校录取过程 。当每个学校对所有学生偏好相同 ( 更偏好于分数高的学生) 时 , 通常被使用的是分数独裁算法 。分数独裁机制 最多也仅需要 m 步即可完成整个算法 , 是一个既有效率又达到了帕累托最优 的机制 , 但是没有考虑学校之间的偏好差别 , 目前被运用于高考录取平行志 愿中 。这四个机制的算法收录在本文的附录 A 中 。

近年 , 高考录取机制有了非常大的改革 , 从原有录取方式逐渐变为平行 志愿录取方式 ( 近似于分数独裁机制) 3 , 聂海峰 ( 2007 ) 认为平行志愿方式 在不考虑志愿个数的情况下是帕累托最优的和抗策略的 。这种机制中 , 学生 被按照高分到低分依次考查志愿录取 , 每个学生在自己的录取过程中都会依 次考查第一志愿 、第二志愿到最后一个志愿 , 相比过去更容易被同一批次的 高校录取了 。分数独裁机制几乎完全取消了高校在招生中的自主权 , 要求各 高校按照高分到低分依次录取 , 同分的则按照单科成绩依次录取 。 但是 , 平行志愿录取方式也有其明显的缺陷 。 第一 , 平行志愿录取方式损失了高校招生的自主性 , 如果不考虑调档比 例 , 高考招生几乎可以由计算机系统代替完成 , 各高校对于学生个体的不同 评价无从体现 , 变成了所谓的 “唯分数录取” 。但在高考这种全国范围的基础 人才选拔考试中 , 录取公平和学生效用的维护显然是更重要的 , 因此学校利 益的部分损失是可接受的 。 第二 , 平行志愿录取方式为了保证高校自主权 , 保留了一定的调档比例 ( 例如上海市高招的调档比例是 105 %) , 被退档的学生不能进入下一志愿的录 取 , 只能到下一批次去录取 , 这意味着被退档学生的效用会受到重大的损失 。 第三 , 平行志愿录取方式在一个院校志愿中可以按顺序填报数个专业志
3 现行高考的平行志愿录取机制是一个不考虑各高校偏好的录取机制 , 学校仅作为学生 “消费” 的目标而 存在 , 所以是一个择校问题 。但是因为算法相同 , 本文不作特别讨论 。

匹配方案 。Gale2Shapley 机制的效率较低 , 它最多要用 n ?m 步才能完成整个
n

算法 。最优交易循环机制的效率较高 , 它最多需要

i =1

∑q

Ci

步就可以完成整个

四、 高考平行志愿机制的分析与改进

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愿 , 只有所有专业志愿都没有录取的情况下 , 才会考虑下一个院校志愿 。这 体现了学生对不同学校的偏好和对校内不同院系的偏好 , 但是却没有体现不 同学校之间院系的偏好 , 也使平行志愿录取方式不可能达到帕累托最优 。 例 1 　 院校有两个专业 —— A — 经济学 A E 和计算机技术 A C , B 院校也有两 个专业 —— — 经济 学 B E 和 计 算 机 技 术 B C , 某 学 生 对 这 四 个 专 业 的 偏 好 是 A E P S B E P S B C P S A E , 如果该生第一志愿报考 A 院校而没有被经济学录取的 话 , 他很有可能被偏好最低的 A 院校计算机系录取 。 第四 , 平行志愿录取方式设定的志愿个数与招生学校个数之间相差很大 , 在这种情况下学生会采用一定的策略 , 即使被平行志愿录取方式顺利录取也 会出现 “高分低就”和效用损失 。 ) ) 如果某学生的考试分数为θ, θ是分布函数为 F (θ 的随机变量 , f (θ 连续 且一阶可导 。学生填报志愿的学校的录取分数为 θ , 志愿个数为 N ( N ≥ ) , 1 i θ θ 学生在θ下的效用函数为 < (θ) ( < ( ? > 0 , θ ≤ ≤ i + 1 ) , <(θ) 连续且一阶可 ′ ) i i i 　　 命题 1 　 在平行志愿录取方式中 , 对于给定的志愿个数 N , 不管学生以何 种方式 A N 填报这 N 个志愿 , 在给定 N + 1 个志愿时总存在填报方式 B N + 1 , 使填报方式 B N + 1 的效用大于 A N 。 对学生越有利 。 θ U = E< ( i ) 　 + … + <(θ - 1 ) [ F ( b) - F (θ ) ]. N N θ θ θ θ = <( a) [ F ( 1 ) - F ( a) ] + <( 1 ) [ F ( 2 ) - F ( 1 ) ]

导 。所有学校的录取分数在 [ a , b] 上服从均匀分布 , a 是某批次高校的录取分 数线 , b 是某批次高校的最高录取分数 , 且学生为了保证被录取 , 总有一个志 愿填报在 a 处 , 则平行志愿下的学生效用可以用如下算式表示 :

　　 N + 1 个志愿时的填报方式 B N + 1 不一定是 N + 1 个志愿个数时的最优 在 填报方式 , 可以有多种填报方式都优于 A N 。换句话说 , 就是志愿个数越多 ,

命题 2 　 给定填报志愿的个数 N , 必能在 [ a , b]上找到 N 个志愿个数时的 最优填报方式 , 使学生的效用 U 最大 。

　　 根据上面的命题我们可以看出 , 在被平行志愿录取方式顺利录取的情况 下 , 志愿个数越多 , 学生效用越大 。增加平行志愿的个数可以显著增加学生 的效用 。 因此 , 在目前平行志愿的模式下 , 效用的损失可以通过三种方式降低 : 降 低投档比例 、打通不同院校之间的专业志愿和增加志愿个数 。由于分数独裁机 制的“独裁”特性 , 降低投档比例同时会降低高校的招生自主权 , 这两点是鱼 与熊掌不可兼得的。要完全解决学校录取机制中的帕累托最优的问题 , 还有赖 于采用 Gale2Shapley 机制或者最优交易循环机制 , 这些机制国外已经有了成功

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运用的经验 , 而且也适用于高考统一录取的特点 。其实施的关键在于各高校 、 各专业需对自己的偏好进行具体量化 , 变成计算机可识别的指标。

五、 单次非统一录取机制的优化设计
博士生招生考试是一种完全不同于高考的考试形式 , 它是由各个大学和 研究机构自行组织初试 、复试和确定拟录取名单的 , 每年录取一次 , 其考试 时间和拟录取名单的发布时间也是自行确定的 , 并不存在一个统一的考试和 录取系统 。在时间许可的情况下 , 学生可以志愿报考任意多所学校 , 在通过 初试和复试后 , 也可以同时被多所学校拟录取 , 且学生拒绝已经拟录取他的 学校的成本为零 。招生单位的拟录取名单一旦确定就将交教育主管部门审批 , 通过审批后无法更改录取名单 , 因此博士生招生录取也是一个单次录取机制 。 这种机制下 , 在偏好较高的学校还没有通知拟录取学生之前 , 学生不会 拒绝偏好较低学校对他的拟录取 , 但之后会拒绝偏好较低的拟录取学校不去 就读 。这对学校和其他考生而言都会带来效用的损失 。 高考平行志愿录取中存在的各种问题都可以在技术条件成熟的情况下采 用 Gale2Shapley 机制或最优交易循环机制来解决 。但对于博士招录 , 各高校 通常只举行一次初试和复试 , 而且没有一个统一的录取系统来保证学生在各 高校中正常循环 , 因此 “天生”无法采用 Gale2Shapley 机制和最优交易循环 机制 , 所以研究其他机制来降低学校和学生的损失是很有必要的 。 本文将目前博士生招生考试的录取机制称为单次非统一录取机制 , 这种 机制与其他录取机制的区别与联系见表 1 。
表1　 各类学校录取机制 循环机制 单次机制 统一录取机制 非统一录取机制 　　 : 括号内是各类机制在现实中的运用 。 注

为了分析博士生录取的机制 , 首先给出以下两个定义 : 拟录取 μ( S k ) : 拟录 取学生 S k 的 高 校 集 合 为 C S k = { Ci , Cj , …, Ck } 5 ,

4

婚姻问题也是学校录取问题的一个特例 , 区别在于婚姻问题的被追求方 ( 对应学校) 只有一个匹配名额

( Rot h , 1985) 。

5 由于博士生的专业化程度很高 , 因此其只能报考某高校特定的学科专业 , 报考学科专业的集合和高校 集合是一一对应的 。因此 , 本文在定义 “拟录取” 的过程中直接用高校集合替代了专业方向的集合 。同 样 , 通知拟录取学生的时间也是高校特定学科专业的拟录取时间 , 对同一个高校不同的专业学科 , 通知拟 录取的时间可以不同 ( 按照学院或系来通知拟录取) 。

Gale2Shapley 机制 , 最优交易循环机 制 ( 香港的大学录取) Gale2Shapley 机制 , 最优交易循环机 制 ( 婚姻问题4 )

波士顿机制 , 分数独裁机制 ( 中国高考平行志愿)

(中国博士生录取 ,应届毕业 生录用)

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μ( S k ) ∈CS k 。 S k , Π Ci , 如果有 T Ci ( S k ) ≥T Ci ( S qC ) , 则学校 C ∈CS k , 其中 Π i
S qC 是学校 C i 评价集从大到小排列的第 q Ci 个学生 。
i

拟录取学生的时间 : OC = 通知拟录取学生时间集 = { O1 i , O2 j , …, On k } , C C C
l k l

其中 O Ci 表示学校 C i 第 l 个开始通知拟录取学生 , OCj < OCi ( 1 ≤k < l ≤n) 表示
Cj 的拟录取时间早于 C i 。

为了分析的简便 , 本文假设学生在同一时间只保留一个拟录取自己的学 校 ( 当获得两个学校的拟录取时 , 会选择保留偏好较高的一个学校拟录取名 额 , 立即拒绝偏好较低学校的拟录取) , 还假定每个学生报考了所有偏好次序 高于 C0 ( 参加工作) 的学校 。学校只能观察到该学生报考了本校 , 无法观察 到他是否报考了其他学校 。 单次非统一录取机制的算法为 : 1 第一步 , 录取时间为 OCi 的高校从所有学生中拟录取 q Ci 名学生 , 通知拟 录取学生 , 拒绝其他学生 。 2 第二步 , 录取时间为 OC j 的高校从所有学生中拟录取 q C j 名学生 , 通知拟 录取学生 ; 如果 Cj 在 O C j 时被拒绝 , 则可继续补录剩下的学生中最为偏好的 , 直至录满 qC j 名学生 , 并拒绝其他学生 。
n n

2

第 n 步 , 录取时间为 OCk 的高校从所有学生中拟录取 q Ck 名学生 , 通知拟

录取学生 ; 如果 Ck 在 O Ck 时被拒绝 , 则可继续补录剩下的学生中最为偏好的 , 直至录满 qCk 名学生 , 并拒绝其他学生 。 该算法一共 n 步 , 当所有的学校均录取一次之后结束 。

命题 3 　对于 单次非 统一 录取 机制 M , 如果 ? S k 、 S l , Ci 、 Cj ∈CS k , OC j < OCi , 且 Ci P S k C j , Cj P S lμ( S l ) , 则机制 M 不是一个无浪费和帕累托最优 的机制 。 命题 4 　 单次非统一录取机制 M 是公平 、个人理性和抗策略的 。

　　 由此可见 , 除非所有学生最先被自己最偏好的学校录取 , 否则运用单次 非统一录取机制总会使学校和学生的效用受到损失 。因此 , 我们很有必要对 博士生招考机制做深入的分析 , 提出可行的新机制 。 首先 , 博士生各招生单位对所招学生的偏好各不相同 , 招生考试的内容 、 时间和评价手段都有很大的差异 , 因此也无法使用统一招生机制 。必须在招 生单位各自组织招生考试的框架下进行机制设计 。其次 , 博士生考试这种专 业化程度很高 、挑选某一方面高层次人才的考试 , 学生一般都只会选择不同

学校的同一个专业方向进行报考 , 而国内各高校某一个专业方向的教学和科 研实力排序 , 在业内是有一个比较明确的结论的 ( 包括重点学科排名等) , 因 此我们假定学生对学校的偏好是唯一确定的 。最后 , 博士生考试是为国家培 养非常专业化的高级研究人才的 , 这些人才必须先满足各培养单位的不同需

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求 , 再满足学生对培养单位的偏好 。 在统一录取的情况下 , 分数独裁机制是能得到帕累托最优和无浪费的 。 本文根据非统一录取的要求 , 将非统一录取和分数独裁机制6 、学生最优算法 和学校最优算法7 的特点结合起来 , 设计了新的机制 : 偏好顺序非统一录取 机制 。 假设所有学生对学校的偏好集合 P = { PS1 , PS2 , PS3 , …, PS m } , 满足 PS1 =
PS 2 = …= PS m , 其中 PS 是学生除去参加工作 C0 后的偏好序列 , C 是学生第
i

-

-

-

-

i 偏好的学校 。

偏好顺序非统一录取机制的算法是 : 第一步 , C1 从所有学生中拟录取 qC1 名学生 , 第一个通知拟录取学生 , 并 拒绝其他学生 。 第二步 , C2 从所有学生中拟录取 qC2 名学生 , 第二个通知拟录取学生 ; 如 果 C2 在此步被拒绝 , 则可继续拟录取剩下的学生中最为偏好的 , 直至录满
qC2 名学生 , 并拒绝其他学生 。

第 n 步 , Cn 从所有学生中拟录取 q Cn 名学生 , 第 n 个通知拟录取学生 ; 如 果 Cn 在此步被拒绝 , 则可继续拟录取剩下的学生中最为偏好的 , 直至录满
qCn 名学生 , 并拒绝其他学生 。

命题 5 　偏好顺序非统一录取机制 M 是无浪费且对于学生是帕累托最 优的 。 命题 6 　 偏好顺序非统一录取机制 M 既满足学生的帕累托最优 , 又满足 学校的帕累托最优 。 　　 本文提出的偏好顺序非统一录取机制完全满足了学校录取问题所提出的 五个要求 : 公平 、无浪费 、个人理性 、抗策略且帕累托最优 。在这种机制下 , 每个学校和学生的效用都为最大 , 解决了单次非统一录取机制下的效用损失 问题 。 在现实的博士生招生录取过程中 , 能够观察到教学和科研实力强的大学 和研究所往往率先于每年的三月就开始入学考试 , 而实力较弱的学校通常则 选择四月进行笔试 。通知拟录取学生的时间顺序不一定就等于笔试的时间顺 序 , 根据单次非统一录取机制 , 最终决定学校是否有名额被浪费的是通知拟 录取学生的时间顺序 。 那么 , 偏好顺序非统一录取机制如何在现实的博士生招生录取过程中实
6 7

分数独裁机制的特点是把学生按分数排序 , 新机制则是把学校按照学生的统一偏好排序 。 新机制的算法实际上包含两部分 :学生报考学校 ( 学生最优算法) 、 学校拟录取学生 ( 学校最优算法) 。

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施呢 ? 对于非统一的录取机制 , 实力较弱的高校越是先通知拟录取学生 , 受 到的效用损失会越大 。又由于各招生单位无法在时间表上采取统一的规划 , 可以采取以下方式来通知拟录取学生 : 学生最偏好的学校首先确定其通知拟 录取学生的时间 ; 第二偏好的学校在观察到前面一个学校的通知拟录取时间 后 , 再确定自己通知拟录取学生的时间 ; 以此类推 。

六、 结论和讨论
本文对目前高考平行志愿机制的性质和优缺点进行了再探讨 , 提出了三 条改进的建议 : 降低投档比例 、打通不同院校各专业之间的志愿和增加志愿 个数 。本文还设计了非统一录取条件下的偏好顺序机制 。该机制在理论上能 够解决学校录取问题所提出的五个要求 : 公平 、无浪费 、个人理性 、抗策略 和帕累托最优 。本文还对该机制在博士生录取中的实际运行方法做了分析 。 偏好顺序非统一录取机制的不足之一是它必须假定博士生考生的偏好是 一致的 。而现实中的博士生考生及应届毕业生的偏好一定是有差别的 , 因此 在非统一录取的现实条件下 , 偏好顺序机制不可能使招生单位的效用完全达 到帕累托最优 。但是 , 在大多数人对招生高校评价相近或相同的情况下 , 使 用偏好顺序机制可以减少违约现象的发生 。 偏好顺序非统一录取机制的另外一个问题是假定学生在接到两个拟录取 通知后会立即拒绝偏好较低的高校 。这种机制实施的过程中 , 学生当然可以 保留所有的拟录取名额到入学时再拒绝 , 但这样 “损人不利己”的行为对学 生的效用是没有任何改进的 , 只要对这样的行为稍加约束即可避免 ( 譬如同 时收取少量的拟录取费用) 。 附录 A
第一轮 : 考虑每个学生的第一志愿 , 学校 C 将第一志愿报考本校 T c 最高的前 q c 个学 生纳入考查名单 , 拒绝其他学生 。 第二轮 : 考虑上轮被拒绝学生的第二志愿 , 学校 C 将第二志愿报考本校的学生和上轮 中已经纳入考查名单的学生一起比较 , 将 Tc 最高的前 q c 个学生纳入第二轮考查名单 。 第 k 轮 : 考虑上轮被拒绝的学生的第 k 志愿 , 学校 C 将第 k 志愿报考本校的学生和上 轮中已经纳入考查名单的学生一起比较 , 将 T c 最高的前 q c 个学生纳入第 k 轮考查名单 。 当没有学生被拒绝 , 所有的学生都分配到最终位置时 , 这个算法结束 。
( 2) 最优交易循环机制的算法如下 : ( 1) Gale2Shapley 机制的算法如下 :

第一轮 : 学生指向他们最为偏好的学校 , 学校指向他们最为偏好的学生 。这样必定会 形成一个闭合的循环圈 , 这个循环圈类似 ( S 1 →C1 →S 2 →C2 →…→S 1 ) , 这些闭合循环圈 内的所有学生被他们指向的学校录取 。学校可录取名额减 1 , 拒绝其他学生 。

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第 k 轮 : 学生指向还有剩余可录取名额学校中最偏好的学校 , 学校指向剩余学生中最 偏好的 。闭合循环圈内的所有学生被他们指向的学校录取 。学校可录取名额减 1 , 拒绝其 他学生 。 当所有的录取名额都被用完时 , 该算法结束 。
( 3) 波士顿机制的算法如下 :

第一步 : 每个学校都只考虑学生的第一志愿 , 按该学校的偏好逐个录取学生 , 直到没 有可录取名额或者没有学生的第一志愿是该校为止 。 第 k 步 : 每个学校都只考虑学生的第 k 志愿 , 按该学校的偏好逐个录取学生 , 直到没 有可录取名额或者没有学生的第 k 志愿是该校为止 。 该算法当所有的志愿全部被录取一遍之后结束 。
( 4) 分数独裁机制的算法如下 :

第一步 : 分数最高的学生 , 首先考查其第一志愿 , 如果第一志愿高校还有可录取名 额 , 则被第一志愿录取 ; 否则依次考虑其第二志愿 , …, 第 n 志愿 。当学生被其中某一志 愿录取为止 。 第 k 步 : 分数排名第 k 的学生 , 首先考虑其第一志愿 , 如果第一志愿高校还有可录取 名额 , 则被第一志愿录取 ; 否则依次考虑其第二志愿 , …, 第 n 志愿 。当学生被其中某一 志愿录取为止 。 该算法当所有的学生被考查完一遍或所有可录取名额用完时结束 。

附录 B
命题 1 的证明 我们用数学归纳法来证明该命题 。 　　 ( 1) 2 个志愿时 , 总存在填报方式使学生效用大于 1 个志愿时 。 根据设定 , 志愿个数为 2 和 1 时学生的效用为 : θ θ θ U 2 = <( a) [ F ( 1 ) - F ( a) ] + <( 1 ) [ F ( b) - F ( 1 ) ] ; 　 1 = <( a) [ F ( b) - F ( a) ]. U θ θ θ U 2 - U 1 = <( a) [ F ( 1 ) - F ( a) ] + <( 1 ) [ F ( b) - F ( 1 ) ] - <( a) [ F ( b) - F ( a) ] 9U θ θ θ θ θ θ θ = <( i- 1 ) f ( i ) + < ( i ) [ F( i+1 ) - F( i ) ] - <( i ) f ( i ) = 0 ′ θ 9 i θ θ = [ F ( b) - F ( 1 ) ][ <( 1 ) - <( a) ] > 0 . θ θ θ θ U N - U N - 1 = [ F( i+1 ) - F( i ) ][ <( i ) - <( i- 1 ) ] > 0 .

　　 两种情况下的效用差为 :

　　 ( 2) N 个志愿时 , 总存在填报方式使学生效用大于 N - 1 个志愿时 。

　　 不妨设第 N 个志愿定在原来的第 i 个和 i + 1 个志愿之间 , 则效用差为 :

　　 ( 3) 命题对于所有的 N ( N ≥ ) 都成立 。 1 命题 2 的证明

θ θ θ θ θ θ U N = <( a) [ F ( 1 ) - F ( a) ] + <( 1 ) [ F ( 2 ) - F ( 1 ) ] + … + <( N - 1 ) [ F ( b) - F ( N - 1 ) ].

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经 济 学 ( 季 刊) ′i 　　 ] [ <(θ) - <(θ 1 ) ] f (θ) = < (θ) [ F (θ 1 ) - F (θ) ]. i ii i+ i 　+ <(θ - 1 ) [ F ( b) - F (θ ) ]. N N
i

第9卷

　　 θ =θ- 1 或θ =θ+ 1 时 , 效用函数有 U′ U″ 当 i 和 : i i i

可以解出 N - 1 个志愿的填报分数使学生的效用 U 最大 , 又因为 a 是一个已知志愿 , 这就 是最优填报方案 。 命题 3 的证明

后的 OCi 时刻 , μ( S k ) = Ci , μ( S k ) ≠Cj , 最后的匹配结果必然有 | μ- 1 ( Cj ) | ≤qCj - 1 , 机制
M 不是一个无浪费的机制 。因为浪费的那个名额给予 S l 是一种帕累托改进 , 机制 M 必然

不是一个帕累托最优的机制 。 命题 4 的证明

某学校正式录取了 , 该学校必然是拟录取他的学校中他最偏好的 。如果存在 μ( S j ) = Ci ,

报考好于或等于 C0 的学校 。如有学校 Ci =μ( S j ) 拟录取 S j , 即有 μ( S j ) R Sμ( S j ) R S C0 , 则 机制 M 是个人理性的 。 Π S j , 在单次非统一录取机制中 , S j 的偏好是私人信息且唯一确定的 , 所报考的学校

仅知道 Ci R S j C0 ; 而 S j 会报考所有报考好于或等于 C0 的学校 , 采用策略偏好后集合属于 或等于真实偏好报考学校集合 , 因此机制 M 是抗策略的 。 命题 5 的证明

μ( S k ) ≠Ci , 最后的匹配结果必然有 | μ- 1 ( Cj ) | = qCj 。因此机制 M 是一个无浪费的机制 。 根据命题 4 , 这个机制是公平 、个人理性和抗策略的 , 又因为机制 M 是无浪费的 , 所以机
8 制 M 对于学生是帕累托最优的 。

此如果存在μ( S j ) PS iμ( S i ) , 必然有 T c ( S j ) > T c ( S i ) , 即机制 M 是公平的 。 Π S j , 他只会 帕累托最优和学校的帕累托最优 。
8

生) , 所以 Cj 包括 S 0 的新匹配一定没有原匹配好 。Ci 的效用改进一定会使 C j 的效用受到 损失 。因此 , 该机制满足学校的帕累托最优 。偏好顺序非统一录取机制同时满足了学生的

则有 ] Ci P S kμ( S k ) ] Ci | CS k , 根据拟录取的定义有 T Ci ( S j ) > T Ci ( S qC ) > T Ci ( S k ) 。因
聂海峰 ( 2007) 证明了满足公平 、 无浪费和个人理性的机制必然满足帕累托最优 。

S k 。 ? Cj =μ( S k ) ( j < i) , 必然有 T Cj ( S k ) > T Cj ( S 0 ) ( S 0 为没有被 Cj 录取的任意一个学

9U 92 U ) 　　 根据命题 1 有 U > U′ U″ U (θ 是连续的 , 一定存在θ , 使得 θ = 0 , = , < 0。 i θ 9 i 9 2 i 命题 6 的证明

在第 j 步有μ( S k ) = Cj , | μ- 1 ( Cj ) | = qCj 在其后的第 i 步 ( j < i) 中 , 都有 Cj P S C i ]

根据 N - 1 个方程 [ <(θ) - <(θ- 1 ) ] f (θ) = < (θ) [ F (θ+ 1 ) - F (θ) ] ( i = 1 , 2 , …, N - 1) , ′i i i i i i

因为拒绝拟录取是没有效用损失的 , 在 O j 时刻有μ( S k ) = Cj , | μ- 1 ( Cj ) | = qCj 。在其

在该机制 M 算法完成后 , 学校 Ci 效用改进就是招收到至少一个拒绝被 C i 录取的学生

Π S k , S k 在算法中的每一步中都只保留其更偏好的学校 , 拒绝其他学校 。如果 S k 被

θ θ θ θ U′= U″= <( a) [ F ( 1 ) - F ( a) ] + … + <( i- 1 ) [ F ( i+1 ) - F ( i- 1 ) ] + …

第1期

魏立佳 : 高考与博士生录取的机制设计

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经 济 学 ( 季 刊)

第9卷

A Design f or College and Graduate School Admission
L IJ IA W EI
( X i amen U ni versi t y )
Abstract 　The college admission p roblem is o ne of t he widely discussed issues in t he edu2

cation literat ure. This paper analyzes t he advantages and disadvantages of t he parallel applica2 tive admissio ns , allowing fo r applicatio ns fo r different majors and increasing t he number of colleges to be applied for. The admission of graduate schools , however , is of anot her type tio n policy , and p ropo ses t hat st udent sπ utility can be imp roved by reducing t he rate of tenta2 dividually rational , st rategy2p roof , and Pareto efficient , and t hen discusses how to apply t he mechanism in reality. JEL Classif ication 　 C78 , D61 , D78 , I20 nism for t his type of admission , which satisfies t he p roperties of being fair , no n2wastef ul , in2 t hat has a decent ralized admission system. This paper designs a p reference o rdering mecha2



  本文关键词：中国高考录取与博士生录取的机制设计，由笔耕文化传播整理发布。