常微分方程在经济管理中的地位研究

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Vol. 13, No. 1 Jan. , 2010

高等数学研究 STUDIES IN COLLEGE M AT HEMATI CS

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常微分方程在经济管理中的地位研究
田俊改
( 中国民航大学理学院, 天津, 300300)

摘

要

随着社会经济的迅速发展, 高等数学在经济管理中的应用越来越广泛 . 常微 分方程作 为高等数学 的

一个重要组成部分, 本文将对它在经济管理中的 重要应用作初步探索, 主要包括市场 均衡价格 分析、 新产品的销 售 速度分析、 广告的效果分析三个方面. 关键词 常微分方程; 经济管理; 市场均衡价格; 销售速度; 广 告. 中图分类号 O13

随着社会经济的迅速发展, 数学在我们的生活中 可以说无处不在, 尤其是在经济管理中的应用越来越 广泛. 经济学必须进行定量研究. 而高等数学是对经 济管理问题进行定量研究的最重要、 最基本的数学工 具之一. 为了研究经济变量之间的联系及其内在规律, 常 常需要建立某一经济函数及其导数所满足的关系式, 并由此确定所研究函数的形式, 从而根据一些已知条 件来确定该函数的表达式. 从数学上讲, 就是建立微 分方程并求解微分方程. 用微分方程解决问题时总有 三个主要过程: 第一步是建模, 即根据实际问题建立起适当的微 分方程, 给出其定解条件. 这需要对问题有深刻的理 解, 并进行必要的假设, 忽略一些 次要因素, 选取变 量, 从这些变量之间的关系建立起 所满足的微分方 程, 给出定解条件. 这就是将实际 问题数学化. 第二 步, 求解所建立的微分方程, 这包括求出它的解析解 或者数值解, 或者从微分方程分析变量的变化规律. 第三步是对所得的数学结果进行翻译, 用来解释一些 现象, 或对问题的解决提出建议或方法. 本文将通过具体模型来研究和介绍微分方程在 经济管理中的重要应用. 主要包括 市场均衡价格分 析、 新产品的销售速度分析、 广告的效果分析等三个 方面. 1 市场均衡价格分析 设有某种商品, 其价格主要由 市场供求关系决 定, 或者说, 该商品的供给量 Qs 与需求量 Q d 只与该 商品的价格 P 有关. 为简单起见, 设供给函数与需求
收稿日期: 2007 - 04 - 04. 基金项目: 中国民航大学校内科研项目( 04 - CAUC - 21S) . 作者简介: 田俊改( 19732) , 女, 河北保定人, 硕士, 中国 民航大学讲师, 研究方向为应用数学. E _ mail: t sweet @ 163. com

函数分别为 Qd = A B ( A B> 0) , - p , Qs = - C+ D ( C, D> 0) . P 求得供需相等时的价格为 P e = A+ C . B+ D 称 1e 为该种商品的均衡价格. 一般地说, 当市场上该商品供过于求( Qs > Qd ) 时, 价格将下跌; 供不应求 ( Qs < Q d ) 时, 价格将上 涨. 因此, 该商品在市场上的价格将随着时间的变化 而围绕着均衡价格 P e 上下波动, 价格 P 是时间 t 的 函数 P ( t ) . 根据上述供求关系变化影响价格变化的 分析, 可以假设 t 时刻价格P ( t) 的变化率 dP 与t 时刻 dt 的超额需求量 Q d - Q s 成正比, 即设 dP = K ( Qd - Qs ) , dt 其中 K 为正常数, 它反映价格的调整速度. 将( 1) 式代入( 2) 式可得 dP = K [ A+ C- ( B+ D P ] = ) dt K ( B+ D ) A C + - P = B+ D ( 2) ( 1)

当供给量与需求量相等时, 即 Q s = Qd , 由( 1) 式

K ( B+ D ( P e - P ) . ) 令 K= K ( B+ D , 则 ) dP = K P e - P ) . ( dt 上式是一阶可分离变量的微分方程, 其通解为
t P ( t) = P e + ce- K .

假设初始价格 P ( 0) = P 0 , 代入上式得 c = P 0 - P e. 于是, 上述市场动态均衡价格模型的解为

50 P ( t) = P e + ( P 0 - P e ) e- Kt . 由 K> 0 知 limP ( t) = P e . ty ]

高等数学研究

2010 年 1 月

根据( 5) 式可求出它的一阶、 二阶导数: Xc( t ) = cK re - Kr t , 1 + ce Xd( t) = cK r ( ce - K rt - 2 1) . ( 1+ ce ) 不难看出, 当 Xc( t ) > 0 时, X( t ) 单调增加, 由 Xd( t) = 0 得出 ce- K rt 0 = 1, 此时 X( t 0 ) = K . 2 当 t < t0 时, Xd( t) > 0 , 即Xc( t) 单调增加, 这表示在销 售量小于最大需求量的一半时, 销售速度 Xc( t) 不断增 大; 当 t > t0 时, Xd( t) < 0 , 即 Xc( t) 单调减小, 这表示 在销售量达到最大需求量的一半时( t = t0 ) , 产品最畅 销, 其后( 即 t > t0 ) , 销售速度 Xc( t) 开始下降. ( 4) 基于对 Logist ic 曲线的 分析, 国外研究 普遍认 为: 从 20% 用户到 80% 用户采用某一新产品的这段 时期, 应是该产品正式大批量生产的较合适的时期, 初期应采用小批量生产并加以广告宣传, 后期则应适 时转产, 这样做可以取得较高的经济效益. 3 广告效果的分析 信息社会使广告成为调整商品销售的强有力手 段, 广告与销售之间有什么内在联系? 如何评价不同 时期的广告效果?这也需要借助数学模型进行研究. 首先认为广告对产品的销售速度又直接的促进 作用, 以销售速度为研究对象, 设 s( t) 为时刻 t 的产 品销售速度, 并作以下假设: ( ?) 不考虑广告作用时, 销售速度具有自然衰 减的性质, 即产品销售速度随着时间而减少, 满足这 一性质的销售速度 ds = - K t) , s( dt 其中 K为衰减因子. ( 5) ( ?) 产品的销售速度会因广告而增加, 但增加 是有一定限度的, 当产品在市场上趋于饱和时, 销售 速度将趋于极限值, 这时无论采取哪种形式做广告 ( 不包括其他的促销手段) , 都不能使销售速度增加. 假设 M 为销售饱和水平, 即市场对产品的最大容 纳能力, 它对应着销售速度的上限. 当销售速度达到饱 和水平之后, 广告已不起作用, 销售速度随时间增加而 自然衰减, 同样 K为衰减因子, K> 0 且为常数. ( ?) 产品的销售速度与广 告的投入水平有关, 设 A( t) 为时刻 t 单位时间的广告投入水平( 以费用表
3 2 - Kr t 2 - K rt

这表明, 实际价格 P ( t) 最终趋向于均衡价格 P e . 2 新产品的销售速度分析 对于开发的某种新产品, 生产者非常关心它的销 售速度. 那么, 怎样建立一个数学模型来描述它, 并由 此分析出一些有用的结果以指导生产呢? 记时刻 t 时已售出的新产品数为X ( t) , 假设该产 品使用方便, 这些正在使用的新产品实际上起着宣传 的作用, 吸引着尚未购买的顾客, 设每一个新产品在 单位时间内平均吸引 K 个顾客, 由此可知, X ( t) 满足 微分方程: dX = KX , dt X ( 0) = 0. 其解为: X ( t) = X 0e .
Kt

( 3)

若取 t = 0 表示新产品诞生的时刻, 则 X( 0) = 0, 由( 4) 式得 X ( t) = 0, 这一结果与事实不符. 模型( 3) 只考虑了实物广告的 作用, 而忽略了厂家可以通过其他方式宣传新产品, 从而打开销路的可能性. 若通过努力已有 X 0 的产品 投入使用, 这时 X( t) 在开始阶段的增长情况 与( 4) 式的结果拟合较好. 在( 4) 式中, X( t ) y ] ( t y ] ) , 这也与事实不符. 事实上, X( t) 应当有一个上界, 设 需求 量 的 上 界 为 K, 则 尚 未 使 用 新 产 品 的 户 数 为 K - X ( t ) , 由统计规律可知, dX 与 X ( K - X) 成 dt 正比, 比例系数为 r, 则 dX = rX ( K - X ) , dt 它的解为 X( t ) = K . 1 + ce- Kr t

曲线 X ( t) 称为增长曲线, 或称为 Logist ic 曲线, 如图 1 所示.

图 1 产品销售的 Logistic 曲线

示) , p 为投入的响应系数, 即投入 A( t) 对销售速度

第 13 卷第 1 期

田俊改: 常微分方程在经济管理中的 地位研究
s( t ) = s( S) eK( S 1) , t\ S

51 . ( 9)

的影响力, p 为常数. 根据上述假设, 有: ds = pA ( t ) 1 - s( t) - K t) . s( ( 6) M dt 上式右端的第一项反映出广告投入对销售速度 的影 响, 1 - s( t ) 相 当 于 一 个 开 关 函 数, 显 然 M

综合( 8) 式( 9) 式, 在( 7) 式的条件下, 产品销售速度 广告模型的解可以写为: c - bt - bt ( 1- e ) + s0 e , 0 < t < S, s( t) = b
( s( S) e K S- 1) , t \ S.

销售速度随时间的变化情况如图 2 所示.

当 A( t) = 0 或 s = M 时, 都有 ds = - K t) . s( dt 式( 6) 右端第二项表明销售速度自然衰减的特征. 为确定 A( t) 的形式, 假设选择如下广告策略: ( 7) 0, t \ S . 即在时间 S内平均投入常数 A 的资金来做广告, 在此 条件下求解( 6) 式. 在时间段( 0, S) 内, 假设已知用于广告的总投入 为 a, 那么单位时间投入 A = A S, / 代入( 6) 式, 整理有: ds + ( K+ p a ) s = p a . dt M S S 令 K+ p a = b, pa = c, M S S 则有 ds + bs = c. dt 其通解为: s( t) = C1 e- bt + c , b 其中, C1 为积分常数. 若初始时刻销售速度 s( 0) = s0 , 那么: s( t ) = c ( 1- e- bt + s0 e- bt ) , 0 < t < S. ( 8) b 当 t \ S时, 根据( 7) 式, A = 0, 则( 6) 式退化为: ds = - K t) , s( dt 其解为: 简讯
[ 1] 周义仓, 靳祯, 秦军林 . 常微分方程及其应用[ M] . 北京: 科 学出版社, 2005, 92- 97. [ 2] 同 济大学应用数学系. 高等数学[ M] . 北京: 高等教育出 版 社, 2003, 第五版, 259- 269. [ 3] 厉 以宁. 西方 经济 学[ M] . 北 京: 高 等教 育 出版 社, 2004, 125 - 129. [ 4] 张 从军, 李辉, 鲍远圣, 刘玉 华. 常 见经济 问题的 数学解 析 [ M] . 南京: 东南大 学出版社 2005, 140 - 143. [ 5] 郎 艳怀. 经济数学方法与模型教程[ M] . 上海: 上海财经 大 学出版社, 2004, 25- 36.

A( t ) =

A, 0 < t < S,

图2

销售速度随时间的变化情况

4

结语

综上所述, 微分方程在经济管理中有着重要的应 用, 通过建立数学模型能够解决很多复杂的实际经济问 题. 本文所述只是微分方程在经济管理中应用的一小部 分, 有待于进一步的探讨. 需要指出的是, 使用微分方程 解决问题时, 要根据实际问题适当地使用微分方程. 随着社会经济的发展, 高等数学将不仅在经济管 理方面是一个有效的解决问题的工具, 而且在其它领 域, 诸如环境治理、 人口预测、 传染病的传播、 药物在 人体内的分布等方面也会得到越来越多的应用, 为人 们解决越来越多的实际问题.
参考文献

2009 年国家精品课程公布

国家教育部、 财政部, 年前联合公布了经评审批准的 2009 年高等教育精品课程, 其中本科类 400 门, 高职高专类 200 门, 网 络教育课程 50 门. 本 科/ 数学类0 精品课程在 公示的 11 门( 见本刊 2009 年第 5 期 第 64 页) 中 , 除/ 概率 论与数理统计0 ( 国防科 大) 外, 10 门都获得通过;/ 统计学类0 公示的 1 门也获通过. 又, 高职高专的/ 文化教育大类0 中一门/ 经 管数学0 ( 深圳职业技术 学院, 雷田礼) 获批准. 网络教育精品课程 ,/ 数学类0 中有一门/ 高等数学0( 北航, 李心灿) . 此前, 网络教育 课程, 2007 年, 有 一 门/ 高等数学0( 北邮, 牛少彰) ; 2008 年有:/ 经济数学基础0 ( 中央广播电 视大学, 李 林曙) ,/ 离散 数学0 ( 中 央广播 电视大 学, 李 伟生) ,/ 线性代数0( 北大, 马荣权) 共 3 门课程获批准.



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