L~p空间暂留生灭过程的第一特征值

发布时间：2017-10-11 14:12

  本文关键词：L~p空间暂留生灭过程的第一特征值

  更多相关文章： 生灭过程 暂留 特征值 L~p空间 Poincare型不等式 Nash不等式对数Sobolev不等式

【摘要】：生灭过程作为一族典型连续时间离散状态马氏过程,在随机过程论中起重要作用,同时它在自然科学、生物学、物理学、排队论等领域都有着广泛的应用.随着陈木法院士等概率学者关于马氏过程遍历性的研究,有关生灭过程的特征值问题近年来备受关注(参考著作[12]).设X={Xt,t≥0}是定义在概率空间(Q,F,P)且取值于Z+={0,1,…}上的齐次连续时间马氏过程,具有标准的转移概率Q矩阵,其中Q=(pij),i,j ∈Z+.如果它的密度矩阵Q满足下列条件：qi,i+1=bi(i≥0), qi,i-1=αi(i≥1),且对一切|i-j|≥2,qij=0,则称X为生灭过程.本文我们简记生灭过程生的速率为bi0(i≥0),死的速率为αi0(i≥1).容易发现生灭过程是一族对称的马氏过程.若记其对称测度为μ=(μi)i≥0则μ0=1.那么,该生灭过程暂留当且仅当遍历当且仅当关于生灭过程的其它判别准则可以参见著作.本文旨在研究Lp空间暂留生灭过程的第一特征值及其相关问题.本文结构如下：第一章我们主要介绍了有关生灭过程的研究背景和研究意义.同时简单叙述生灭过程国内外研究现状,以及本文我们主要研究内容和研究方法.第二章基于文献,旨在将文献中L2空间第一特征值的结果推广到Lp空间中.我们给出了Lp空间中生灭过程第一特征值λ0p的上下界变分公式、基本估计和逼近程序.同时我们也证明了第一特征值λ0p关于p的单调性.进一步,我们还举例说明了λ0p的基本估计的作用.第三章我们着重研究了暂留生灭过程的Poincare型不等式.本章我们给出了Z+上暂留生灭过程Poincare型不等式最优常数AB的精确估计.类似于文献[11],我们也将考虑其在Nash不等式和对数Sobolev不等式上的应用.尽管本章在推导方面与文献[11]有点类似,但是我们旨在揭示暂留生灭过程与遍历生灭过程相关研究的差异性.特别地,我们得到暂留生灭过程的Poincare不等式蕴含Nash不等式和对数Sobolev不等式,这种关系与遍历情形下是完全相反的(参照著作[12,表1.4]与文献[37]).除此之外,我们还指出对偶法不适用于研究暂留生灭过程Poincare 型不等式.在本章最后我们证明了在0点和∞点均为Dirichlet边界的生灭过程Poincare型不等式与仅0点为Dirichlet边界Poincare型不等式的等价性.第四章对本文的研究成果进行了总结以及对未来研究工作的展望,并指出本文的创新之处与可以进一步研究的问题.
【关键词】：生灭过程 暂留 特征值 L~p空间 Poincare型不等式 Nash不等式对数Sobolev不等式
【学位授予单位】：福建师范大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O211.62
【目录】：

• 中文摘要2-4
• Abstract4-6
• 中文文摘6-10
• 第1章 绪论10-16
• 1.1 研究背景和意义10-11
• 1.2 国内外研究现状11-13
• 1.3 研究方法和研究内容13-16
• 第2章 L~p空间生灭过程的第一特征值16-36
• 2.1 背景和主要定理16-19
• 2.2 证明19-36
• 第3章 暂留生灭过程的Poincare型不等式36-60
• 3.1 引言36-37
• 3.2 主要定理37-46
• 3.3 应用46-56
• 3.3.1 Nash不等式47-49
• 3.3.2 对数Sobolev不等式49-56
• 3.4 Dirichlet情形下Poincare型不等式：等价于Neumann情形56-60
• 第4章 研究总结与展望60-62
• 4.1 研究总结60
• 4.2 研究展望60-62
• 参考文献62-66
• 攻读学位期间承担的科研任务与主要成果66-68
• 致谢68-70
• 个人简历70-74

【参考文献】

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1 ;Nash Inequalities for Markov Processes in Dimension One[J];Acta Mathematica Sinica(English Series);2002年01期

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本文编号：1012950