几类微分方程解的研究

发布时间：2017-10-16 10:02

  本文关键词：几类微分方程解的研究

  更多相关文章： 微分方程 通解 因变量变换 线性变换 降阶法 变量替换 不变式

【摘要】：众所周知,常系数微分方程根据线性常微分方程的一般理论是可解的。然而变系数二阶及高阶微分方程的求解却十分困难,因此探讨它们的解法具有重要的理论和应用价值。经过不断探索研究,数学家发现一些特殊类型的变系数线性微分方程是可以通过变量代换等方法转化为可解的微分方程,例如,欧拉方程就是常见的一种。目前,在讨论变系数线性微分方程的可解性时采用的变量代换大多是自变量变换或者是未知函数的线性变换,所得结论也具有一定的相似性。本文首先给出二阶线性方程与黎卡提方程的系列不变式,由这些自变量变换及因变量变换下的系列不变式判定方程为可积,进而得出它们的通解公式,同时借助变量替换给出了几类黎卡提方程的解法。其次,提出几类欧拉型微分方程,借助变量替换法、降阶法等转化为可求解的欧拉方程,论证它们的可积性,扩大微分方程的可积范围,给出求解的方法及通积分的表达式。最后利用函数的变量代换、函数的线性变换及自变量变换将高阶变系数(欧拉)微分方程转换为可求解的高阶线性欧拉方程或者是常系数线性微分方程,并给出高阶线性方程的系列不变式,得出它们的系列通解公式,从而得到高阶变系数线性微分方程新的可解类型。
【关键词】：微分方程 通解 因变量变换 线性变换 降阶法 变量替换 不变式
【学位授予单位】：武汉科技大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O175
【目录】：

• 摘要4-5
• Abstract5-8
• 第1章 绪论8-13
• 1.1 问题的提出8
• 1.2 国内外研究现状8-12
• 1.3 论文创新指出12
• 1.4 论文的主要工作12-13
• 第2章 二阶线性方程和黎卡提方程13-27
• 2.1 二阶线性方程不变式及主要结论13-16
• 2.2 黎卡提方程不变式及主要结论16-19
• 2.3 几类黎卡提方程的求解19-24
• 2.4 应用举例24-26
• 2.5 本章小结26-27
• 第3章 几类欧拉型微分方程27-33
• 3.1 预备知识27-28
• 3.2 主要结论28-31
• 3.3 应用举例31-32
• 3.4 本章小结32-33
• 第4章 高阶微分方程的解33-44
• 4.1 高阶线性方程的不变式组及通解公式33-38
• 4.2 高阶欧拉类型方程的解38-41
• 4.3 应用举例41-44
• 第5章 论文的发展和展望44-45
• 致谢45-46
• 参考文献46-49
• 附录1攻读硕士学位期间发表的论文49

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本文编号：1042036